ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
|
ИСТИНА ИНХС РАН |
||
В проекте предполагается проведение исследований по теории операторных пространств, операторных алгебр и модулей, а также некоторых их обобщений. Результаты и методы этой актуальной области современного анализа находят применение в теории операторов, гармоническом анализе, теории локально компактных квантовых групп, структурной и гомологической теории банаховых алгебр и других областях. Кроме того, будут проводиться исследования некоторых аспектов теории алгебр Фреше, связанных с некоммутативной геометрией в ее гладком и комплексно-аналитическом контекстах, а также будут изучаться топологические аспекты теории эллиптических краевых задач с применением методов некоммутативной геометрии. Среди основных вопросов, которые найдут отражение в проекте, в первую очередь следует назвать следующие: исследование разнообразных обобщений операторных алгебр и операторных пространств, таких, как, например, мультинормированные и $p$-мультинормированные пространства Ламберта, общие матрично нормированные пространства Эффроса-Руана и т.п.; построение тензорных произведений для различных классов обобщенных операторных пространств; описание проективных, инъективных и плоских объектов в различных категориях функционального анализа (банаховы модули над классическими банаховыми алгебрами, обобщенные операторные пространства, обобщенные операторные модули и т.п.); развитие некоммутативной геометрии в гладком и комплексно-аналитическом контекстах с использованием алгебр Фреше и оболочек Аренса-Майкла; исследование роли гомологических эпиморфизмов и их обобщений в некоммутативной геометрии; применение методов некоммутативной геометрии для исследования топологических аспектов теории эллиптических краевых задач (в частности, для получения формулы индекса таких задач).
The goal of the project is to study operator spaces, operator algebras and modules, and some of their generalizations. The results and methods of this important branch of modern analysis find applications in operator theory, harmonic analysis, theory of locally compact quantum groups, structure theory and homology theory of Banach algebras, and in some other fields. Also we plan to study some aspects of Fr\'echet algebra theory related to noncommutative geometry in smooth and complex analytic contexts, and we intend to apply methods of noncommutative geometry to topological aspects of elliptic boundary value problems. The main problems which are to be investigated in the project are as follows: a study of various generalizations of operator algebras and operator spaces, such as Lambert's multinormed and p-multinormed spaces, Effros and Ruan's matricially normed spaces, etc.; constructing tensor products in various classes of generalized operator spaces; characterizing projective, injective, and flat objects in various categories of functional analysis (Banach modules over classical Banach algebras, generalized operator spaces, generzlized operator modules, etc.); development of noncommutative geometry in smooth and complex analytic contexts with the help of Fr\'echet algebras and Arens-Michael envelopes; investigating the role of homological epimorphisms and their generalizations in noncommutative geometry; applying methods of noncommutative geometry to topological aspects of elliptic boundary value problems (in particular, to obtaining an index formula for such problems).
В теории операторных пространств и их обобщений предполагается дать полное описание проективных и свободных общих (не обязательно операторных) матрично-нормированных пространств. Имеется гипотеза, согласно которой эти пространства строятся с помощью специальных матрично-нормированных пространств $\widehat M_n$, состоящих из $n\times n$-матриц. При этом свободные матрично-нормированные пространства суть $\ell_1$-суммы некоторых выделенных семейств матрично-нормированных пространств $\widehat M_n$, в то время как проективные матрично-нормированные пространства суть прямые слагаемые $\ell_1$-сумм произвольных семейств пространств $\widehat M_n$. В дальнейшем предполагается исследовать инъективные и плоские матрично-нормированные пространства, а также подробно изучить матричную норму тех ``кирпичиков'' $\widehat M_n$ (см. выше), из которых эти объекты строятся. Наконец, предполагается ввести и изучить общие (не обязательно операторные) матрично-нормированные алгебры и матрично-нормированные модули, и понять, как устроены проективные и свободные объекты соответствующих категорий.
В теории операторных алгебр, операторных модулей, операторных пространств и их обобщений доказана экстремальная плоскость важного класса полуруановых нормированных модулей и, как следствие, получено новое доказательство теоремы Арвесона-Виттстока. Описаны однородные плоские и однородные проективные модули над алгебрами последовательностей. Описаны свободные квантовые модули над квантовыми алгебрами и, как следствие, метрически проективные квантовые модули. Введено и изучено новое понятие асимптотической категории. Показано, что понятие экстремально проективного модуля является частным случаем понятия асимптотически проективного модуля.
грант РФФИ |
# | Сроки | Название |
1 | 10 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. | Обобщенные операторные пространства, алгебры Фреше и некоммутативная геометрия |
Результаты этапа: | ||
2 | 10 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. | Обобщенные операторные пространства, алгебры Фреше и некоммутативная геометрия |
Результаты этапа: | ||
3 | 10 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. | Обобщенные операторные пространства, алгебры Фреше и некоммутативная геометрия |
Результаты этапа: |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".