ИСТИНА

Будут предложены комбинаторные, алгебраические и геометрические структуры, позволяющие описывать качественные и количественные характеристики "хороших" базисов в представлениях алгебр Каца-Муди и новые методы их построения. При этом этих структуры так же будут предметом исследования. Кроме того, мы предполагаем использовать различные связи с алгебраической геометрией, в том числе теорий положительных и тропических многообразий, торической и сферической геометрией, интегрируемыми системами. Предложенный нами подход позволит получить новые результаты как в самой теории алгебр Ли, так и в различных современных и актуальных комбинаторных, алгебраических и алгебро- геометрических проблемах. Будут изучены алгебро-геометрические и комбинаторные свойства базисов, используя свойства биекций, обобщающих классическую биекцию Робинсона- Шенстеда-Кнута, на двойных клетках Брюа классических и аффинных групп Ли. Будут построены и исследованы соответствующие тропические многообразия пар иньективных нормирований, и соответствующие зеркальные базисы. В ходе проекта планируется построить различные представления модулярного дубля для произвольной полупростой алгеры Ли в терминах некоммутативных торов (теорема Гельфанда Кириллова) и использовать их для построения волновых функций различных релятивистских цепочек. Будет разработан полиномиальный алгоритм для решения систем тропических дифференциальных уравнений. Проведено исследование взаимоотношений различных функций тропических матриц и функций соответствующих графов, а также изучение приложений этих вопросов в теории расширенных представлений выпуклых многогранников. Будут решены некоторые открытые проблемы о сложности многогранников и поведении тропических матричных инвариантов.