Алгебраическая топология, геометрия и комбинаторика многообразийНИР

Algebraic topology, geometry and combinatorics of manifolds

Источник финансирования НИР

грант РФФИ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Алгебраическая топология, геометрия и комбинаторика многообразий
Результаты этапа: Построено новое семейство торических многообразий, порождающих кольцо унитарных (комплексных) бордизмов. Каждое многообразие в этом семействе представляет собой комплексную проективизацию суммы одномерного расслоения и тривиального расслоения над комплексным проективным пространством. Также построено семейство квазиторических SU-многообразий, которое содержит полиномиальные образующие кольца SU-бордизмов с обращённой 2 в размерностях >8. Каждое многообразие в этом семействе получено из итерированной проективизации суммы одномерных расслоений путём изменения стабильно комплексной структуры так,что первый класс Чженя становится равным 0. Результаты опубликованы в работе Zhi Lu and Taras Panov. On toric generators in the unitary and special unitary bordism rings. Algebraic & Geometric Topology 16 (2016), no.5, 2865-2893. В работе "Формальная группа Бухштабера и эллиптические функции малых уровней" (Матзаметки, принята в печать) предложен метод для нахождения соотношений на ряды, задающие формальную группу Бухштабера. Этот метод применён в случаях, когда экспонентой группы является эллиптическая функция уровня n=2, 3 и 4. Доказано также алгебраическое соотношение на ряды определяющие универсальную формальную группу Бухштабера. Проводились исследования по задаче: описать классы комплексных 6-мерных кобордизмов, которые содержат в качестве представителей 6-мерные квазиторические многообразия над простыми 3-мерными многогранниками без 3- и 4-поясов. Были проведены исследования ряда Хирцебруха, задаваемого классической сигма-функцией Вейерштрасса. Виттен доказал, что такой род Хирцебруха имеет важные топологические приложения.В настоящее время этот род называется родом Виттена. Разложение сигма-функции в нуле задаётся рядом Гурвица над кольцом Z[g_2,g_2]. Возникла задача описать теоретико-числовые свойства полиномов от g_2 и g_3, задающих коэффициенты этого ряда. Полученные результаты в этом направлении относятся к задаче делимости на 2 и на 3. Высказана гипотеза и разработан алгоритм, позволивший подтвердить эту гипотезу до 100 коэффициента разложения. Доказано, что набор канонических образующих и противоположных элементов в когомологиях квазиторического многообразия, отвечающего простому 3-многограннику без 3- и 4-поясов, является жёстким, то есть при любом изоморфизме колец квазиторических многообразий переходит в соответствующий набор. Для векторнозначных симплектических форм общего положения (невырожденных в сильном смысле) показано, что нет прямого аналога теоремы Дарбу о приведении к каноническому виду. Классическая теорема Александера 1920 года утверждает, что любое связное замкнутое ориентированное PL многообразие X^N обладает конечнолистным разветвленным накрытием над N-сферой. Однако, конструкция Александера дает очень большое количество листов такого накрытия. Доказано, что для любого n-листного разветвленного накрытия N-мерного тора над произведением 2-сферы и (N-2)-сферы число листов n не меньше N-2. Существование разветвленных накрытий с данными тотальным пространством и базой следует из теоремы Александера. Известная оценка Берстейна-Эдмондса 1978 года для числа листов разветвленных накрытий многообразий в данном случае дает только n не меньше N/2.
2 22 мая 2017 г.-31 декабря 2017 г. Алгебраическая топология, геометрия и комбинаторика многообразий 2017
Результаты этапа: В.Батырев построил семейство гиперповерхностей Калаби-Яу, двойственных к первому классу Чженя в торических многообразиях Фано. Используя эту конструкцию, мы вводим семейство многообразий Калаби-Яу, классы SU-бордизма которых порождают кольцо специальных унитарных бордизмов Omega^{SU}\otimes Z[1/2]=Z[1/2][y_2,y_3,y_4,...]. Мы также даём явное описание многообразий Калаби-Яу, представляющих полиномиальные образующие кольца SU-бордизмов в малых размерностях. Дано полное описание формальных групп Бухштабера F(u,v)=(u^2 A(v)-v^2 A(u))/(uB(v)-vB(u) ), для которых ряды A(x) и B(x) связаны соотношением A(x)^ℓ=B(x)^m. Получено новое семейство формальных групп Бухштабера, зависящее от двух алгебраически независимых параметров. Доказано, что минимальная степень d разветвленного накрытия тора T^n над произведением k штук 2-сфер и одной (n-2k)-сферы не меньше n-2k, если n больше 2k+1. Доказательство использует технику d-гомоморфизмов Фробениуса градуированных алгебр, развитую Д.В.Гугниным в 2011-2012 гг. Известная оценка Берстейна-Эдмондса 1978 года для числа листов разветвленных накрытий многообразий в данном случае дает только d не меньше n/(k+1). Вычислены препятствия к реализуемости 1-квазипериодических многообразий как поверхностей уровня замкнутых 1-форм в неодносвязных многообразий. Препятствия лежат в группе ориентированных бордизмов многообразий с краем с дополнительной структурой: компоненты связности края разбиты на 2 множества и пленки (бордизмы) согласованы с этим разбиением. Для маленьких размерностей (2 и 3) препятствия равны нулю. Для более высоких размерностей эти препятствия априори не равны нулю, но построить контрпример пока не удалось. В 2017 году были продолжены исследования положительно градуированных алгебр Ли и развитие их приложений в геометрии, топологии и математической физике. Важнейшим результатом 2017 года стала классификация градуированных ленточных модулей над положительной частью W+ алгебры Витта (Вирасоро). В математической физике давно известны два примера таких модулей: двух-параметрическое семейство, связанное с представлением алгебры Витта в т.н. тензорных плотностях и однопараметрическое семейство модулей, тривиальных на коммутанте [W+,W+]. Между тем, для ряда приложений в теории аффинных кристаллографических групп необходимо описать все аффинное многообразие таких модулей, что и было полностью сделано в работе, представленной в сборник "Recent Developments in Integrable Systems and Related Topics of Mathematical Physics - Conference in Mathematical Physics Kezenoi-Am 2016", book in series "Springer Proceedings in Mathematics & Statistics", электронная копия статьи опубликована на портале ArXiv по адресу https://arxiv.org/pdf/1705.06076.pdf В ходе 2017 г. была применена развитая на этапе 2016 г. техника когомологического исследования пространства орбит действия градуированных автоморфизмов положительно градуированной алгебры Ли для классификации узких алгебр Карно, конечномерных положительно градуированных алгебр Ли специального типа, играющих важную роль в субримановой геометрии и геометрической теории оптимального управления. По этой части исследований представлен доклад на VI международном конгрессе математиков тюркоязычных стран, Астана, 2017 г. Изучена сильная гипотеза о кузнечных мехах, выдвинутая Р. Коннелли в 1979 году, то есть задача о равносоставленности изгибаемых многогранников. Доказано, что для любого изгибаемого многогранника в евклидовом пространстве произвольной размерности его инвариант Дена (являющийся препятствием к равносоставленности многогранников) постоянен в процессе изгибания. В качестве следствия из этого результата и классических теорем Сидлера и Ессена 1960-х годов, доказано, что в евклидовых пространствах размерностей 3 и 4 всякий изгибаемый многогранник остаётся в процессе изгибания равносоставлен себе, точнее, своему первоначальному положению. Для многогранников в неевклидовых пространствах постоянной кривизны доказано, что если объём многогранника постоянен при всех его изгибаниях, то и инвариант Дена этого многогранника постоянен при всех его изгибаниях. На основе этих результатов подготовлен препринт arXiv:1710.11247. Для простых флаговых 3-многогранников без 4-поясов получены результаты о связи групп градуированных автоморфизмов кольца Стенли-Райснера и кольца когомологий момент-угол многообразия и группы комбинаторных эквивалентностей многогранника.
3 29 мая 2018 г.-31 декабря 2018 г. Алгебраическая топология, геометрия и комбинаторика многообразий 2018
Результаты этапа: Дано полное описание формальных групп Бухштабера $$F(u,v)=\frac{u^2 A(v)-v^2 A(u)}{uB(v)-vB(u) },$$ для которых ряды $A(x)$ и $B(x)$ связаны соотношением $A(x)^\ell=B(x)^m$. Получено новое семейство формальных групп Бухштабера, зависящее от двух алгебраически независимых параметров. В. В. Батыревым было построено семейство гиперповерхностей Калаби–Яу, двойственных к первому классу Чженя в торических многообразиях Фано. Используя эту конструкцию, мы вводим семейство многообразий Калаби–Яу, классы SU-бордизма которых порождают кольцо специальных унитарных бордизмов. Мы также явно описываем многообразия Калаби–Яу, представляющие мультипликативные образующие кольца SU-бордизмов в малых размерностях. Согласно плану на 2018 г. были продолжены исследования различных градуированных модулей над бесконечномерными алгебрами Ли. Основным направлением для исследований были градуированные модули, представляющие собой нечетные части градуированных супералгебр Ли, обобщающих по своим свойствам алгебры Рамона и Неве-Шварца. Такие модули являются градуированными модулями над алгеброй Вирасоро. В качестве основноего приложения проделанной работы стала классификация узких положительных супералгебр Ли. Получены результаты об автоморфизмах гиперболических многообразий, соответствующих многогранникам Погорелова. На основе полученной в статье Д.В.Гугнина (Матзаметки, 2018) gt_n-формулы доказана следующая теорема. Теорема 1. Пусть даны натуральные k >=1 и N >= 4k+2. Тогда для любого n-листного разветвленного накрытия тора T^N над произведением k штук 2-сфер и одной (N-2k)-сферы выполняется оценка n >= N-2k. Заметим, что в силу знаменитой теоремы Александера 1920 года хотя бы одно разветвленное накрытие между приведенными в Теореме 1 многообразиями существует (но, возможно, с очень большим n). Без использования gt_n-формулы в данной ситуации максимально, что можно извлечь из известных результатов о количестве листов разветвленного накрытия, --- это знаменитая оценка Берстейна-Эдмондса 1978 года, которая здесь дает неравенство n >= N/(k+1). Верно, что присоединённая градуированная алгебра Ли прямоугольной группы Артина L(RA_K) изоморфна граф-алгебре Ли L_K, возникающей как рациональная гомотопическая алгебра Ли полиэдрального произведения (CP^\infty,*)^K. Для прямоугольных групп Кокстера, в отличие от прямоугольных групп Артина, задача описания присоединённой алгебры Ли L(RC_K)$ намного сложнее в связи с отсутствием изоморфизма алгебры L(RC_K) и граф-алгебры Ли L_K над Z_2. Построен эпиморфизм алгебр Ли L_K \rightarrow L(RC_K) и в ряде случаев описано его ядро.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".