![]() |
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ИНХС РАН |
||
Хорошо известно, что многие интегрируемые модели, возникающие в современной математической физике, оказываются тесно связанными с задачами дифференциальной геометрии. С другой стороны, идеи, приходящие из дифференциальной геометрии (иногда даже восходящие к классикам), зачастую бывают весьма полезными при исследовании задач математической физики. Кроме того, изучение интегрируемых задач часто требует разработки новых алгебраических, алгебро-геометрических и даже топологических методов, а интегрируемость оказывается связанной с интересными алгебраическими или комбинаторными структурами. Мы планируем использовать эту взаимосвязь для изучения некоторых интегрируемых уравнений математической физики, интегрируемых задач дифференциальной геометрии и отвечающих им алгебраических структур.
госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию) |
# | Сроки | Название |
1 | 10 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. | Методы геометрии и топологии 2021-2025 (1) |
Результаты этапа: Гильбертовы модули являются естественным обобщением гильбертовых пространств. Ряд результатов о гильбертовых пространствах удается перенести на гильбертовы модули. Нами дано определение гильбертова модуля с воспроизводящим ядром (RKHM) без требования автодуальности. Получена интерполяционная теорема и исследовано внешнее тензорное произведение RKHM, а также их мультипликаторы. Найдены условия, при которых левые мультипликаторы образуют RKHM. Исследована подалгебра допускающих сопряженный операторов на RKHM. Также доказан аналог теоремы Пападакиса и найдены условия, при которых произведение двух функций попадает в RKHM Пападакиса. Мы также обобщаем на случай гильбертовых модулей задачу интерполяции В-сплайнами для полуторалинейной формы В над С*-алгеброй. В случае автодуального гильбертова модуля и в случае гильбертова модуля над W*-алгеброй мы формулируем условия, при которых задача интерполяции сплайнами имеет решение. В общем случае мы выясняем, при каких условиях решение этой задачи единственно. Исследована инверсная полугруппа классов квази-эквивалентности и грубой эквивалентности метрик на дубле (несвязном объединении двух экземпляров) метрического пространства X с фиксированной метрикой dX. Получен критерий коммутативности данной инверсной полугруппы. Описана подгруппа идемпотентов как классы эквивалентности расширяющихся последовательностей подмножеств. Построены меры на этой инверсной полугруппе. На категории С*-алгебр построен эндофунктор, связанный с асимптотическими гомоморфизмами специального вида. Исследован вопрос существования структуры абелевой группы на множестве гомотопических классов морфизмов этого эндофунктора. Получены приложения к Е-теории Конна-Хигсона. Описана алгебра базисных когомологий Дольбо канонического слоения на классе комплексных многообразий с торической группой симметрий. Этот класс включает комплексные момент-угол-многообразия, LVM- и LVMB-многообразия и, в наиболее общем случае, комплексные многообразия с максимальным голоморфным действием тора. Также построена dga-модель для алгебры когомологий Дольбо. Разложение Ходжа для базисных когомологий Дольбо доказывается путем сведения к трансверсально кэлеровому случаю с использованием аналога торических раздутий для слоений. Для неориентируемого многообразия, определяемого векторной раскраской n-мерного простого многогранника, в явном виде описана другая векторная раскраска того же многогранника, задающая ориентируемое двулистное накрытие этого многообразия. | ||
2 | 10 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. | Методы геометрии и топологии 2021-2025 (2) |
Результаты этапа: Изучен неплоские фробениусовы многообразия с неассоциативными фробениусовыми структурами и связанные с ними интегрируемые уравнения. Развиты алгебро-геометрические методы в интегрируемых задачах дифференциальной геометрии. Изучены метрики согласованной кривизны и метрики диагональной кривизны и связанные с ними интегрируемые системы. Развита теория интегрируемых диагонализуемых и недиагонализуемых систем гидродинамического типа и изучены ее приложения в математической физике. Разработана теория роста алгебр Ли-Райнхарта на основе применения теории локальных колец и их локализаций. Изучены интегрируемые гиперболические системы и связанные с ними аогебраические структуры. Доказана теорема об индексе для калибровочно-инвариантных семейств эллиптических операторов с коэффициентами в С*-алгебрах. Изучено ее применение в теории струн и в геометрии. Вычислены внешние деривации алгебр Роу с коэффициентами в бимодулях Роу. | ||
3 | 10 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. | Методы геометрии и топологии 2021-2025 (3) |
Результаты этапа: Для конечного псевдометрического пространства X фильтрация Виеториса-Рипса представляет собой последовательность R(X,t) вложенных флаговых симплициальных комплексов, ассоциированных с X. Симплициальные гомологии комплексов R(X,t) используются для определения основных персистентных модулей в топологическом анализе данных - персистентных гомологий пространства X. В торической топологии рассматривается более тонкий гомологический инвариант симплициального комплекса K - биградуированные гомологии момент-угол-комплекса ZK, ассоциированного с K. Момент-угол-комплекс ZK представляет собой пространство с действием тора, составленное из произведений дисков и окружностей, параметризованных симплексами в K. На ZK задано биградуированное клеточное разбиение, и соответствующие биградуированные группы гомологий H_{-i,2j}(ZK) содержат гомологии H_n(K) в качестве прямого слагаемого. Алгебраически биградуированные модули гомологии H_{-i,2j}(ZK) являются биградуированными компонентами Tor-модулей кольца Стэнли-Райснера k[K] и могут быть представлены в виде суммы приведённых симплициальных групп гомологии всех полных подкомплексов K_I в K. На основе биградуированных гомологий момент-угол-комплексов ZR(X,t), связанных с фильтрацией Вьеториса-Рипса {R(X,t)}, можно определить биградуированные персистентные модули и биградуированные бар-коды облака точек (набора данных) X. Простые примеры показывают, что биградуированные персистентные гомологии могут различать облака точек, которые неразличимы обычными персистентными гомологиями. Двойные гомологии HH*(ZK) определяются как гомологии цепного комплекса CH*(ZK)=(H*(ZK),d'), получаемого путём введения второго дифференциала d' на биградуированных гомологиях ZK. Биградуированные двойные гомологии существенно меньше, чем обычные биградуированные гомологии момент-угол-комплексов, и поэтому могут быть более доступными с вычислительной точки зрения. Что более важно, модули персистентных гомологий, определённые на основе биградуированных двойных гомологий фильтрации Вьеториса-Рипса, обладают свойством стабильности, т.е., грубо говоря, устойчивости к малым изменениям входных данных. Получено новое явное описание кольца когомологий момент-угол многообразия простого трёхмерного многогранника. Продолжено исследование полной симметрической системы Тоды. Эта система является аналогом открытой цепочки Тоды, ее фазовым пространством является пространство полных симметрических матриц. Данная система является супер-интегрируемой и связана с геометрией пространств флагов. В этом году было получено обобщение метода решения с помощью QR-разложения для данной системы. Собственно метод использует конструкцию присоединенных ковариантных внешних степеней оператора Лакса. Как известно, двумеризованные цепочки Тоды, соответствующие матрицам Картана простых алгебр Ли, интегрируемы по Дарбу, т.е. допускают полные семейства независимых в главном характеристических интегралов по обоим направлениям. В 2011 году Хабибуллиным был предложен систематический подход к дискретизации этих систем. Ранее были получены лишь частичные результаты об интегрируемости этих систем. Мы показали, что если некоторая функция является характеристическим интегралом обобщенной цепочки Тоды в непрерывном случае, то она же является n-интегралом ее дискретизации. Отсюда следует существование полного набора независимых n-интегралов для полудискретных систем, отвечающих матрицам Картана всех простых алгебр Ли. Далее, мы показали, что для этих систем характерическая алгебра по другому направлению оказывается изоморфной характеристической алгебре соответствующей системы в непрерывном случае. Отсюда следует конечномерность карактеристических алгебр полудискретных систем, что влечет существование полного набора интегралов по второму направлению. Описаны топологические базисы SU-линейных проекторов из комплексных кобордизмов в c1-сферические, коммутирующих с операцией d, классифицированы SU-билинейные умножения на теории c1-сферических бордизмов, соответствующие этим проекторам и вычислены соответствующие кольца коэффициентов. | ||
4 | 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. | Методы геометрии и топологии 2021-2025 (4) |
Результаты этапа: |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".