ИСТИНА

Применение методов геометрической и топологической теории многообразий с действием тора к классическим и современным задачам алгебраической топологии. Среди таких задач выделим описание структуры колец комплексных, специальных унитарных и симплектических (кватернионных) бордизмов, нахождение конкретных геометрических представителей (многообразий с богатой группой симметрий) в классах бордизмов, проблему когомологической жёсткости в связи с задачей гомотопической, топологической и гладкой классификации многообразий в размерностях 6-8, вычисление алгебро-топологических инвариантов (произведения Масси, алгебра Понтрягина, рациональный гомотопический тип) конкретных широких семейств многообразий.

We plan to apply methods of geometrical and tolological theory of manifolds with torus action to classical and modern problems of algebraic topology. Among these problems le us mention a description of the structure of complex, special unitary, and symplectic (quaternionic) bordism rings, finding a specific geometric representatives (manifolds with a rich symmetry group) in the bordism classes, the cohomological rigidity problem in connection with the problem of homotopy, topological and smooth classification of the manifolds in dimensions 6-8, computation of algebraic-topological invariants (Massey products, Pontryagin algebra, rational homotopy type) of particular broad families of manifolds. The research is carried out within the framework of toric topology, a rapidly developing field of mathematics, which lies at the crossroads of topology, geometry, combinatorics, theory of convex polyhedra, algebraic and symplectic geometry.

Построение геометрических представителей элементов конечного порядка (кручения) в кольце специальных унитарных бордизмов на основе конструкций гиперповерхностей и полных пересечений Калаби-Яу в торических многообразиях Фано. Это, наряду с предыдущими результатами о геометрических представителях полиномиальных образующих кольца SU-бордизмов с обращённой 2, позволит получить полное геометрическое описание кольца SU-бордизмов. Построение геометрических представителей полиномиальных образующих и элементов конечного порядка в кольце симплектических (кватернионных) бордизмов, в том числе с использованием конструкций кватернионно-кэлеровых многообразий. Изучение канонических голоморфных слоений F на комплексных момент-угол-многообразиях Z и более общих многообразиях с действием тора с применением методов и результатов топологии момент-угол-многообразий. Явное описание алгебры базисных когомологий Дольбо канонического голоморфного слоения F на момент-угол-многообразиях, LVM- и LVMB-многообразиях и, в самом общем случае, на комплексных многообразиях с максимальным голоморфным действием тора. Применение полученного описания базисных когомологий для построения dga-моделей алгебры обычных когомологий Дольбо комплексного момент-угол-многообразия. Изучение теории W c_1-сферических бордизмов в контексте комплексно-ориентированных теорий, в частности, изучение проекторов из комплексных бордизмов в W, задающих мультипликативную структуру и комплексную ориентацию; изучение связи с SU-бордизмами; исследование вопросов представимости элементов кольца SU-бордизмов различными классами многообразий (с действием тора, Калаби-Яу). Планируется изучить рациональную гомотопическую алгебру Ли момент-угол комплекса, развить методы применения L-бесконечность структур к этой задаче. Ожидается получить аналог обобщенного тождества Якоби для высших итерированных произведений Уайтхеда. Соотношения в гомотопических группах также влекут соотношения на образы при отображении Гуревича в алгебре Понтрягина для момент-угол комплекса. Планируестя доказать, что конструкция подстановкой, описанная в работе (С.А. Абрамян, Т.Е.Панов. Высшие произведения Уайтхеда для момент-угол-комплексов и подстановки симплициальных комплексов. https://arxiv.org/abs/1901.07918) в действительности является наименьшим комплексом реализующим данное произведение Уайтхеда, и описать алгебры Понтрягина петель полиэдральных произведений, соответствующих подстановочный комплексам. Граф-произведение групп G_1, . . . , G_m, отвечающее графу Г на m вершинах, состоит из слов с элементами из групп G_1, . . . , G_m, в которых элементы из G_i и G_j коммутируют, если (i,j) является ребром графа Γ. Методы торической топологии позволяют эффективно изучать такие группы. Планируется описание базиса некоторых членов нижнего центрального ряда некоторых граф-произведений групп, в частности, прямоугольной группы Кокстера. Исследовать существование структур nH-пространства на широких классах CW-комплексов и структур n-алгебр Хопфа на когомологиях комплексных проективных пространств. Планируется доказать, что любая надстройка есть 2H-пространство. Планируется доказать, что на когомологиях CP^m для достаточно больших m не существует структуры 3-алгебры Хопфа. Планируется показать существование структуры nH-пространства на любом конечном CW-комплексе X для всех n, больших некоторой функции от размерности X (возможно, при некоторых ограничениях на фундаментальную группу X). Среди многообразий с действием тора важную роль играют так называемые GKM-многообразия (Goresky-Kottwitz-MacPherson). Их особенностью является то, что эквивариантные когомологии вычисляются в терминах множества нульмерных и одномерных орбит, которые образуют так называемый GKM-граф. Ранг свободной абелевой группы аксиальных функций, введенной Ш. Куроки в 2019 году, дает оценку сверху на размерность GKM-действия тора, продолжающего данное GKM-действие тора на GKM-многообразии. Планируется получить более эффективное описание группы аксиальных функций, которое позволит упростить вычисление ранга. Получить критерий, для каких симплициальных комплексов К кольцо S^1-эквивариантных когомологий момент-угол многообразия является свободным модулем над кольцом эквивариантных когомологий точки (кольцом многочленов от одной переменной). Получить результаты по когомологической жёсткости семейств многообразий, отвечающих нескольким семействам трёхмерных многогранников, определяемых условием циклической k-рёберной-связности, обобщающие результаты о многогранниках Погорелова. Персистентные гомологии — подход, позволяющий применять теорию гомологий для анализа данных. Планируется провести исследования по методам и алгоритмам персистентных гомологий симплициальных и симплициально-клеточных комплексов, которые строятся по динамически изменяющимся графам. Выявить оптимальное представление комплекса и получить алгоритм его построения и алгоритм вычисления персистентных баркодов и чисел Бетти, учитывающий специфику графов, связанных с коннектомами. В прикладных задачах планируется получить эффективную кластеризацию реальных данных.

В 2015 г. опубликована монография В.М.Бухштабера и Т.Е.Панова «Toric Topology» в одной из наиболее известных серий монографий - Mathematical Surveys and Monographs - Американского Математического Общества. В работе Бухштабера-Панова-Рэя [BPR07] методы торической топологии применены к классической задаче теории кобордизмов: построению явных представителей с заданными свойствами в каждом классе кобордизма. Доказано, что в классе комплексных кобордизмов любого стабильно комплексного многообразия содержится квазиторическое многообразие. Другими словами, каждое стабильно комплексное многообразие кобордантно многообразию с действием тора, обладающим замечательными свойствами. Квазиторические многообразия - представители классов комплексных кобордизмов строятся как факторпространства вещественного полного пересечения квадратичных гиперповерхностей по действию тора. Это полное пересечение есть ни что иное, как момент-угол комплекс, ещё один ключевой объект в торической топологии. Тем самым в работе [BPR07] дано решение торического аналога известной проблемы Хирцебруха об описании классов кобордизмов, содержащих связные алгебраические многообразия. Кроме того, дано полное описание квазиторических многообразий в терминах комбинаторных данных, и на этом языке описана взаимосвязь квазиторических многообразий с неособыми проективными торическими многообразиями. В работе Бухштабера-Панова-Рэя [BPR10] построены методы для вычисления эквивариантных родов полиориентированных квазиторических многообразий M в терминах их комбинаторных данных (P,L), которые полностью определяют M.