|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ИНХС РАН |
||
Проблемы алгебраической теории чисел для гиперэллиптических полей, их якобианов и функциональных непрерывных дробейНИР
Problems of algebraic number theory for hyperelliptic fields, their Jacobians, and functional continued fractions
- Руководитель НИР: Федоров Г.В.
- Подразделение: Кафедра математических и компьютерных методов анализа
- Срок исполнения: 30 июля 2019 г. - 30 июня 2021 г.
- Номер договора (контракта, соглашения): 19-71-00029
- Номер ЦИТИС: 121062800029-1
- Тип: Фундаментальная
- Приоритетное направление научных исследований: Алгебра, теория чисел и математическая логика
- ПН России: Безопасность и противодействие терроризму
-
Рубрики ГРНТИ:
- 27.15.25 Алгебраическая теория чисел (поля алгебраических чисел)
- 27.17.33 Алгебраическая геометрия
- 27.41.41 Алгоритмы решения задач вычислительной и дискретной математики
-
Ключевые слова:
точки кручения, s-единицы, представление мамфорда, фундаментальные единицы, высокопроизводительные вычисления, якобиан, функциональные непрерывные дроби, дивизоры, быстрые алгоритмы, группа классов дивизоров, гиперэллиптические поля
torsion points, fundamental units, hyperelliptic fields, high performance computing, divisor class group, mumford's representation, s-units, functional continued fractions, jacobian, fast algorithms, divisors -
Описание:
Для мирового математического сообщества многие годы остается недоступным решение проблемы кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел. Эту проблему можно отнести к важнейшим фундаментальным проблемам теории чисел и алгебраической геометрии. Ей посвящено огромное количество исследований, проводимых с начала XX века. В последнее время эта проблема получила особую практическую актуальность в связи с активным развитием цифровых технологий, компьютерной техники, высокопроизводительных вычислительных систем, новых криптографических протоколов, интеллектуальных систем защиты информации. Мы планируем получить существенные продвижения в проблеме ограниченности степеней фундаментальных S- единиц, проблеме кручения в якобианах гиперэллиптических кривых и их связи с функциональными непрерывными дробями. Особую роль в наших исследованиях будет иметь ключевой случай, когда род гиперэллиптической кривой равен 2. Естественным продолжением и дополнением теоретических исследований проекта является его практическая составляющая, заключающаяся в построении и реализации принципиально новых быстрых алгоритмов. Поэтому одним из важных этапов проекта является компьютерная параллельная реализация наших новых алгоритмов для распределенных многопроцессорных вычислительных кластеров.
-
Abstract:
For many years, the world mathematical community has not been able to solve the torsion problem in Jacobian varieties of hyperelliptic curves over a field of rational numbers. This problem can be attributed to the most important fundamental problems of number theory and algebraic geometry. She devoted a huge amount of scientific research conducted since the beginning of XX century. Recently, this problem has received particular practical relevance in connection with the active development of digital technologies, computer equipment, high-performance computing systems, new cryptographic protocols, and intelligent information protection systems. The torsion problem in Jacobian manifolds of hyperelliptic curves over a field of rational numbers can be divided into two problems: the problem of bounded torsion points in Jacobians of hyperelliptic curves of given genus and the problem of finding the orders of torsion points. For elliptic curves, the Jacobian is isomorphic to the curve itself. In this case, the problem was completely solved by Mazur over the field of rational numbers in 1978. For the last 40 years, the main efforts of specialists in this field were aimed at solving the torsion problem for curves of genus 2. It should be noted that the results obtained in this direction until recently consisted in searching for curves whose Jacobians have torsion points of a certain order. Moreover, they were private in nature and relied on the specific properties of specific curves. The basis of the algebraic approach to the fundamental torsion problem in Jacobians of hyperelliptic curves is the deep connection between nontrivial S-units of the hyperelliptic field and points of finite order in the Jacobian of the hyperelliptic curve. This relationship formed the basis for a new approach to the torsion problem proposed by V.P. Platonov in 2010. Using this approach, the research team led by V.P. Platonov received significant advances in the torsion problem. In particular, the scientific team discovered hyperelliptic curves, the Jacobians of which have the torsion of new orders. This caused a significant resonance in the mathematical environment. Based on the obtained results, V.P. Platonov made two hypotheses. The first states that the degree of the fundamental unit in the hyperelliptic fields of a given genus over the field of rational numbers is limited. The second hypothesis is a generalization of the first one and states that the degree of fundamental S-units in hyperelliptic fields of a given genus over the field of rational numbers is limited. Both of these hypotheses are difficult and deep. In the last five years, G.V. Fedorov actively worked on the global scientific problems of the project under the leadership of Academician V.P. Platonov, as evidenced by a number of joint and individual publications. In particular, the following difficult and important problems were solved. 1. In the article V.P. Platonov, G.V. Fedorov “On the periodicity of continued fractions in elliptic fields” (Dokl. Math., 96: 1 (2017), 332–335) we solved the classification problem of elliptic fields and the corresponding polynomials f degree 3 with coefficients from the field Q of rational numbers, having a periodic decomposition \sqrt{f} in the continued fraction. In the article V.P. Platonov, V.S. Zhgoon, G.V. Fedorov “On the Periodicity of Continued Fractions in Hyperelliptic Fields Over Quadratic Constant Field” (Dokl. Math., 98: 2 (2018), 430–434) we continued to study the classification of elliptic fields in the indicated key over quadratic extensions of the field Q of rational numbers. 2. In the article V.P. Platonov, G.V. Fedorov “An Infinite Family of Curves of Genus 2 over the Field of Rational Numbers Whose Jacobian Varieties Contain Rational Points of Order 28” (Dokl. Math., 98: 2 (2018), 468–471) we found an infinite family of non-isomorphic hyperelliptic curves of the genus 2 over the field Q of rational numbers whose Jacobian varieties contain Qpoints of order 28. In the problem of finding and constructing fundamental S-units of hyperelliptic fields and in the torsion problem in Jacobian varieties of hyperelliptic curves over the field of rational numbers, the following important methods have been found and substantially developed. 1. In the articles V.P. Platonov, G.V. Fedorov “S-units and periodicity of continued fractions in hyperelliptic fields” (Dokl. Math., 92:3 (2015), 752–756), V.P. Platonov, G.V. Fedorov “On the periodicity of continued fractions in hyperelliptic fields” (Dokl. Math., 95:3 (2017), 254–258) and V.P. Platonov, G.V. Fedorov “On the problem of periodicity of continued fractions in hyperelliptic fields” (Sb. Math., 209:4 (2018), 519–559) we found a new method of continued fractions, obtained on the basis of the new criterion for the existence of non-trivial S-units in hyperelliptic fields and quasi-periodicity of functional continued fractions associated with the first degree valuation. 2. In the article V.P. Platonov, V.S. Zhgoon, G.V. Fedorov “Continued Rational Fractions in Hyperelliptic Fields and the Mumford Representation” (Dokl. Math., 94: 3 (2016), 692–696) we proposed a new method based on the Mumford representation of reduced divisors of hyperelliptic fields, as well as on the deep divisorial analysis of functional continued fractions and fundamental S-units of hyperelliptic fields. Over the past few decades, the theory of functional continued fractions has become a powerful tool in the problem of finding fundamental units and in the problem of finding fundamental S-units in hyperelliptic fields, although the origins of the use of continued fractions in this key belong to a much earlier period, dating back to the work of Abel and Chebyshev. The current state of the problem of finding fundamental S-units in hyperelliptic fields and modern advances in it are given in the important article V.P. Platonov, G.V. Fedorov “On the problem of periodicity of continued fractions in hyperelliptic fields” (Sb. Math., 209:4 (2018), 519–559). We plan to obtain significant advances in the problem of boundedness of the degrees of fundamental S-units, the torsion problem in the Jacobians of hyperelliptic curves and their connection with functional continued fractions. The key case when the genus of the hyperelliptic curve is 2 will play a special role in our research.
-
Планируемые результаты:
В данном проекте мы продолжим исследования, широко развитые научным коллективом под руководством В.П. Платонова. Мы собираемся существенно улучшить и углубить предложенные ранее идеи, обобщить и систематизировать их, предложить новые методы и новые эффективные алгоритмы. Мы планируем получить большие продвижения в проблеме ограниченности степеней фундаментальных S-единиц, проблеме поиска новых фундаментальных S-единиц, проблеме кручения в якобианах гиперэллиптических кривых и их связи с функциональными непрерывными дробями.
-
Научный задел:
В последние пять лет Г.В. Федоров активно работал над глобальными научными проблемами проекта под руководством академика В.П. Платонова. В частности, были решены следующие сложные и важные проблемы: 1. В статье V.P. Platonov, G.V. Fedorov (Dokl. Math., 96:1 (2017), 332–335) была решена задача классификации эллиптических полей и соответствующих им многочленов f степени 3 с коэффициентами из поля Q рациональных чисел, имеющих периодическое разложение \sqrt{f} в непрерывную дробь. В статье V.P. Platonov, V.S. Zhgoon, G.V. Fedorov (Dokl. Math., 98:2 (2018), 430–434) продолжено исследование классификации эллиптических полей в указанном ключе над квадратичными расширениями поля Q рациональных чисел. 2. В статье V.P. Platonov, G.V. Fedorov (Dokl. Math., 98:2 (2018), 468–471) найдено бесконечное семейство неизоморфных гиперэллиптических кривых рода 2 над полем Q рациональных чисел, якобиевы многообразия которых содержат Q-точки порядка 28. В проблеме поиска и построения фундаментальных S-единиц в гиперэллиптических полях и в проблеме кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел были разработаны и существенно развиты следующие важные методы: 1. В статьях V.P. Platonov, G.V. Fedorov (Dokl. Math., 92:3 (2015), 752–756), V.P. Platonov, G.V. Fedorov (Dokl. Math., 95:3 (2017), 254–258) и V.P. Platonov, G.V. Fedorov (Sb. Math., 209:4 (2018), 519–559) был сформулирован новый метод непрерывных дробей, полученный на основе найденных критериев существования нетривиальных S-единиц в гиперэллиптических полях и квазипериодичности функциональных непрерывных дробей, связанных с нормированием первой степени; 2. В статье V.P. Platonov, V.S. Zhgoon, G.V. Fedorov (Dokl. Math., 94:3 (2016), 692–696) предложен новый метод, основанный на представлении Мамфорда приведенных дивизоров гиперэллиптических полей, а также на глубоком дивизориальном анализе функциональных непрерывных дробей и фундаментальных S-единиц гиперэллиптических полей.
-
Основные результаты:
В плане работы мы выделяем следующие две крупные и трудоемкие задачи для выполнения в первый год. Задача 1. Для гиперэллиптических полей над произвольным полем констант k характеристики отличной от двух доказать критерий о равносильности следующих условий: условие наличия нетривиальных S_h-единиц для множества S_h состоящего из двух неэквивалентных сопряженных нормирований второй степени; условие наличия нетривиального кручения на якобиане гиперэллиптической кривой, связанного с эффективным неприводимым над k дивизором второй степени; условие квазипериодичности функциональных непрерывных дробей обобщенного типа элементов вида \alpha = (V+\sqrt{f})/U, где многочлен U делит f-V^2. Задача 2. Найти эффективный алгоритм поиска и построения фундаментальных S_h-единиц в гиперэллиптических полях для множества S_h состоящего из двух неэквивалентных сопряженных нормирований второй степени. На основе программной реализации наших новых алгоритмов найти новые примеры, демонстрирующих практическую сторону основных полученных результатов, а также имеющих собственный интерес. С помощь. высокопроизводительных компьютерных вычислений найти примеры новых точек кручения высоких порядков на якобианах гиперэллиптических кривых над полем Q рациональных чисел, связанных с неприводимыми над Q дивизорами второй степени. Естественным продолжением и дополнением теоретических исследований проекта является его практическая составляющая, заключающаяся в построении и реализации принципиально новых быстрых алгоритмов. Одним из важных этапов проекта является компьютерная параллельная реализация этих алгоритмов для распределенных многопроцессорных вычислительных кластеров.
- Добавил в систему: Федоров Глеб Владимирович
Источник финансирования НИР
| грант РНФ |
Этапы НИР
| # | Сроки | Название |
| 1 | 30 июля 2019 г.-30 июня 2020 г. | Проблемы алгебраической теории чисел для гиперэллиптических полей, их якобианов и функциональных непрерывных дробей |
| Результаты этапа: Одной из важнейших современных проблем алгебры и теории чисел является проблема ограниченности кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых. Эта проблема является трудной и пока далека от полного решения. Известна связь между четырьмя самостоятельными фундаментальными проблемами: проблемой существования в гиперэллиптическом поле L нетривиальных S-единиц специального вида, проблемой квазипериодичности непрерывной дроби квадратичной иррациональности \alpha, проблемой существования решения определенного вида у норменного уравнения (функционального уравнения типа Пелля) и проблемой кручения в группе классов дивизоров степени ноль \Delta_0(L) поля L. Последняя проблема эквивалентна проблеме кручения в якобиевом многообразии гиперэллиптической кривой, соответствующей гиперэллиптическому полю L. Проблема периодичности функциональных непрерывных дробей имеет большую (более 200 лет) историю, истоки которой начинаются с классических работ Абеля и Чебышева. В настоящее время теория функциональных непрерывных дробей стала одним важнейших инструментов для поиска новых K-точек кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых, определенных над полем K. В связи с этим проблема периодичности функциональных непрерывных дробей имеет не только собственный интерес, но и практическую актуальность. Путь A — абелево многообразие размерности g над числовым полем K. По теореме Мордела-Вейля множество A(K) K-точек многообразия A является конечно порожденной абелевой группой изоморфной прямому произведению свободной абелевой группы ранга r и A(K)_{tors} — группы кручения K-точек многообразия A. Естественным образом возникают две глобальные проблемы: проблема полного описания конечных групп, реализуемых как группа кручения A(K)_{tors} многообразия A над числовыми полями K, и проблема полного перечисления многообразий A над числовым полем K, реализующих данную группу кручения A(K)_{tors}. Для случая g = 1 эллиптических кривых над полем Q рациональных чисел решение первой проблемы завершил B. Mazur в 1978 году. В 1976 году D.S. Kubert представил параметризацию кубических эллиптических кривых для каждой из возможных групп точек конечного порядка. С использованием этих результатов в статьях В.П. Платонова, Г.В. Федорова 2017-2019 гг. была полностью решена проблема классификации свободных от квадратов многочленов f(x) степени 3 или 4 с рациональными коэффициентами, для которых разложение в непрерывную дробь \sqrt{f} в поле формальных степенных рядов Q((x)) периодическое. В рамках работы над проектом нами найден новый подход к поиску решений функциональных норменных уравнений (функциональных уравнений типа Пелля). Доказано, что эффективное условие разрешимости уравнения типа Пелля с правой частью вида \gamma h^m эквивалентно разрешимости системы из двух сравнений. Первое из сравнений равносильно наличию квадратичного вычета вида \gamma h^m по модулю некоторого данного многочлена, коэффициенты которого в дальнейшем будут параметрами. Нами доказано, что при некоторых дополнительных ограничениях второе сравнение всегда разрешимо, поскольку сводится к линейному сравнению. Для случая рода два и m не превосходящих 5 дополнительные ограничения тривиальны, поэтому задача сводится к определению квадратичных вычетов вида \gamma h^m для многочленов h степени 1 или 2. На основании этого впервые явно найдены все параметрические семейства гиперэллиптических кривых рода два над полем рациональных чисел, якобиевы многообразия которых обладают подгруппами кручения порядков не превосходящих 5. В 1960 году A. Schinzel сформулировал вопрос о возможной длине периода непрерывной дроби \sqrt{F}, \deg F = 4, построенной в поле Q((1/X)). В 2002 году A.J. Van Der Poorten, X.C. Tran и F. Pappalardi показали, что длина периода n зависит от порядка точки кручения на соответствующей эллиптической кривой и не превосходит 22. Пусть в гиперэллиптическом поле L над полем рациональных чисел есть два неэквивалентных бесконечных нормирования, и для ключевого элемента вида X^s \sqrt{F} поля L обозначим за N_s длину квазипериода непрерывной дроби, построенной в поле Q((1/X)). В ходе работы над проектом нами получен неожиданный и удивительный результат: вне зависимости от s в случае, когда длина квазипериода N_s конечна, она не превосходит 6m-2g, а длина периода не превосходит 12m-4g, где m - степень фундаментальной единицы U гиперэллиптического поля L, g - род гиперэллиптического поля L. Фундаментальное решение уравнения типа Пелля для ключевого элемента вида X^s \sqrt{F} является нетривиальной единицей кольца целых Q[X][\sqrt{F}] и является некоторой степенью k фундаментальной единицы U кольца Q[X][\sqrt{F}]. Неожиданность полученных оценок на длины квазипериодов и периодов связана с удивительным фактом: оказывается степень k может принимать только значения 1, 2, 3, 4 и 6. Нами приведены примеры гиперэллиптических полей и ключевых элементов вида X^s \sqrt{F} в них, для которых степень k принимает каждое из нетривиальных значений. Нами высказана гипотеза, что длины периодов непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля над числовыми полями K ограничены сверху постоянной, зависящей только от рода гиперэллиптического поля, порядка группы кручения якобиана соответствующей гиперэллиптической кривой и степени расширения [K : Q]. Во время работы над проектом нами доказана эта гипотеза для ключевых элементов гиперэллиптических полей над полем Q рациональных чисел. Результаты, полученные в ходе работы над проектом, носят фундаментальный характер и предвосхищают дальнейшие исследования. Находясь на стыке математических областей, наши исследования естественным образом дополняются компьютерными вычислениями, без которых были бы невозможны доказательства ряда наших результаты и поиск соответствующих примеров. | ||
| 2 | 1 июля 2020 г.-30 июня 2021 г. | Проблемы алгебраической теории чисел для гиперэллиптических полей, их якобианов и функциональных непрерывных дробей |
| Результаты этапа: Классическая проблема периодичности функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля тесно связана с проблемой поиска и построения фундаментальных единиц гиперэллиптического поля и проблемой кручения в якобиане соответствующей гиперэллиптической кривой. Для эллиптических кривых над полем рациональных чисел проблема кручения была решена Б. Мазуром в 1978 году. Для гиперэллиптических кривых рода 2 и выше над полем рациональных чисел приведенные три проблемы остаются открытыми. В ходе реализации проекта нами показано, что для гиперэллиптической кривой рода два, алгоритмический подход к проблеме кручения в якобианах гиперэллиптических кривых можно разделить на три задачи: 1) поиск нетривиальных S-единиц в гиперэллиптических полях для множества S, состоящего из двух сопряженных линейных нормирований или из бесконечного нормирования и одного конечного несамосопряжённого нормирования первой степени; 2) поиск нетривиальных S-единиц в гиперэллиптических полях для множества S, состоящего из двух сопряженных нормирований второй степени; 3) поиск нетривиальных S-единиц в гиперэллиптических полях для множества S, состоящего из двух различных конечных несамосопряжённых нормирований первой степени. Для первой задачи было предложено алгоритмическое решение в статье [V.P. Platonov, G.V. Fedorov, Sb. Math. 2018. 209:4.], основанное на методе обыкновенных функциональных непрерывных дробей. Вторая задача решена в статьях [Г.В. Федорова, Чеб.сб. 2018. 19:3.], [Г.В. Федоров, Чеб.сб. 2020. 21:1.], [G.V. Fedorov, Izvestiya. Mathematics. 2020. 84:2.], путем развития метода функциональных непрерывных дробей обобщенного типа. Третья задача решена в статье [Федоров Г.В., Доклады РАН. 2021. Том 498.], подготовленной в рамках реализации проекта на втором году. Более точно, найдена связь кручения дивизора вида P-Q, где P ≠ iP и Q ≠ iQ, с периодичностью соответствующей функциональной непрерывной дроби обобщенного типа. Найденные результаты позволили сформулировать универсальный подход к полному алгоритмическими решению проблемы кручения в якобианах гиперэллиптических кривых рода 2 с помощью нашей новой теории непрерывных дробей обобщенного типа для нормирований первой и второй степени. На втором году реализации проекта разработана теория, позволяющая сопоставить последовательности кратных дивизоров (для базового дивизора – данного фиксированного дивизора степени ноль, связанного с некоторой точкой на якобиане гиперэллиптической кривой) последовательность пар многочленов, которая в свою очередь соответствует последовательности квадратичных иррациональностей. Как и в основной теории непрерывных дробей, построенная последовательность квадратичных иррациональностей обладает свойством периодичности (или квазипериодичности) тогда и только тогда, когда класс рассматриваемого дивизора имеет конечный порядок в группе классов дивизоров. Найденную последовательность квадратичных иррациональностей можно представить в виде непрерывной дроби обобщенного вида (обобщенной непрерывной дроби), которая выглядит почти как обычная функциональная дробь за исключением того, что в числителях вместо 1 стоят многочлены, имеющие нули только в конечных точках носителя рассматриваемого фиксированного дивизора или в сопряженных точках. В статье [Федоров Г.В., Доклады РАН. 2021. Том 498.] реализована эта теория в случае, когда базовый дивизор есть разность двух несамосопряженных точек гиперэллиптической кривой, причем наиболее интересен случай, когда эти две точки не являются также сопряженными друг к другу. Задача о поиске порядка кручения класса этого дивизора в группе классов дивизоров степени ноль эквивалентна поиску степени фундаментальной S-единицы в гиперэллиптическом поле, соответствующем гиперэллиптической кривой. В статье [Федоров Г.В., Доклады РАН. 2021. Том 498.] по данному базовому дивизору, равному разности двух несамосопряженных и взаимно несопряженных точек гиперэллиптической кривой, построены три последовательности: последовательность приведенных дивизоров, отличающихся друг от друга кратно базовому дивизору; последовательность пар многочленов, являющихся соответственно представлениями Мамфорда дивизоров из построенной последовательности дивизоров; последовательность квадратичных иррациональностей гиперэллиптического поля, связанных с предыдущими двумя последовательностями. По каждой из этих трех последовательностей однозначно (с точностью до умножения на константы) восстанавливаются две другие последовательности. Последовательность квадратичных иррациональностей можно рассматривать как полные частные обобщенной непрерывной дроби. Главным результатом статьи [Федоров Г.В., Доклады РАН. 2021. Том 498.] является критерий, согласно которому эквивалентны следующие условия: 1) периодичность построенной последовательности приведенных дивизоров (для этого необходимо и достаточно найти пару равных дивизоров в этой последовательности); 2) совпадение с точностью до константы двух многочленов, стоящих на первых местах в парах построенной последовательности пар многочленов (при этом вторые многочлены в этих парах совпадут автоматически); 3) класс базового дивизора имеет конечный порядок в группе классов дивизоров степени ноль; 4) непрерывная дробь обобщенного типа квазипериодическая (при дополнительных условиях будет периодическая); 5) в гиперэллиптическом поле существует фундаментальная S- единица, где множество S состоит из двух нормирований, соответствующих точкам базового дивизора; 6) функциональное уравнения типа Пелля-Абеля имеет нетривиальное решение. На основании этого критерия найден эффективный алгоритм поиска в гиперэллиптических полях нетривиальных S-единиц для указанного множества S. В статье найден пример гиперэллиптического поля, в котором существует фундаментальная S-единица, но не существует нетривиальных S_x-единиц и S_h-единиц, где множества S_x и S_h состоят соответственно из двух сопряженных нормирований, соответствующих точкам базового дивизора. Другие результаты, полученные в ходе реализации проекта, относятся к оценкам сверху длин периодов и квазипериодов функциональных непрерывных дробей, построенных в поле Q((x)) для элементов гиперэллиптических полей L = Q(x)(\sqrt{f}), определенных с помощью многочленов f четной степени. Отметим, что для элементов гиперэллиптических полей L = Q(x)(\sqrt{f}), определенных с помощью многочленов f нечетной степени, длина квазипериода непрерывной дроби тривиальным образом оценивается через порядок соответствующей точки кручения. В отличие от числовых непрерывных дробей, в функциональном случае непрерывная дробь может быть квазипериодической — периодической с точностью до константы из мультипликативной группы K* поля K. Для непрерывной дроби элемента \sqrt{f}, построенной в поле формальных степенных рядов K((1/x)) справедливо утверждение: если длина квазипериода конечна, то длина периода либо равна длине квазипериода, либо равна удвоенной длине квазипериода. В эллиптическом случае \deg f = 4 над полем констант K = Q рациональных чисел в 1960 году A. Schinzel сформулировал вопрос о возможной длине периода непрерывной дроби \sqrt{f}, построенной в поле Q((1/x)). В 1978 году для эллиптических кривых над полем Q рациональных чисел B. Mazur доказал, что порядок точки кручения m не превосходит 12, причем для каждого m, не превосходящего 12, за исключением m=11, есть эллиптические кривые над полем рациональных чисел Q с точками кручения порядка m. Используя этот результат и параметризацию D.S. Kubert эллиптических кривых и точек кручения на них, A.J. Van Der Poorten, X.C. Tran и F. Pappalardi в 2002 году показали, что длина периода n непрерывной дроби \sqrt{f} принимает одно из значений {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 18, 22}. В 2013 году Z.L. Scherr показал, что для каждого n из этого множества существует бесконечная серия соответствующих примеров неизоморфных эллиптических кривых. Для квадратичного поля констант K и \deg f = 4 в 2016 году M. Sadek показал, что длина периода n непрерывной дроби \sqrt{f}, построенной в поле K((1/x)) может принимать значение n из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 22, 26, 30, 34}. Нами высказана гипотеза, что длина периода непрерывной дроби элемента гиперэллиптического поля над числовым полем K ограничена сверху постоянной, зависящей только от степени дискриминанта этого элемента, порядка группы кручения якобиана соответствующей гиперэллиптической кривой и степени расширения [K : Q]. В статье [Г.В. Федоров, Чеб.сб., 2019. 20:4.] нами доказана эта гипотеза для ключевых элементов гиперэллиптических полей над полем Q рациональных чисел. В статье [Федоров Г.В., Доклады РАН. 2021. Том 495.] эта гипотеза доказана для ключевых элементов гиперэллиптических полей над любыми числовыми полями. В статье [Федоров Г.В., Доклады РАН. 2021. Том 495.], подготовленной за отчетный период, найдено обобщение результатов статьи [Г.В. Федоров, Чеб.сб., 2019. 20:4.] для непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей L над произвольными алгебраическими полями констант K. Опираясь на этот результат, найдены точные оценки сверху на длины периодов функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей над числовыми полями K, зависящие только от рода гиперэллиптического поля, степени расширения [K:Q] и порядка подгруппы кручения якобиана соответствующей гиперэллиптической кривой. Приведены новые примеры ключевых элементов над квадратичными полями с периодами, достигающими некоторые из приведенных оценок. Определим последовательность многочленов T_n(x) и Q_n(x) из равенства T_n(x^2) + x Q_n(x^2) = (1+x)^n. В.П. Платоновым и Г.В. Федоровым в статье 2019 года были найдены все рациональные корни многочленов T_n(x) и Q_n(x) при всех натуральных n: для многочленов T_n(x) корнями могут быть только x=-1 или x=-1/3, более точно, T_{2(2k-1)}(- 1) = 0, T_{3(2k-1)}(-1/3) = 0 при всех натуральных k, причем указанные корни имеют кратность один и других рациональных корней нет; для многочленов Q_n(x) корнями могут быть только x=-3 или x=-1 или x=-1/3, более точно, Q_{3k}(-3) = 0, Q_{4k}(-1) = 0, Q_{6k}(-1/3) = 0 при всех натуральных k, причем указанные корни имеют кратность один и других рациональных корней нет. В статье [Федоров Г.В., Доклады РАН. 2020. Том 495.] полностью изучена мультипликативная структура над полем Q последовательности многочленов T_n(x) и Q_n(x). Оказывается, если некоторое алгебраическое число x_0 является корнем многочлена T_k(x) для некоторого натурального k, то в числовых последовательностях T_n(x_0) и Q_n(x_0) нули встречаются периодическим образом, а именно, индексы нулевых членов образуют соответственно две бесконечные арифметические прогрессии. Таким образом, задача описания всех алгебраических корней многочленов из последовательностей T_n(x) и Q_n(x) сводится к поиску корней x_0 и соответствующих им арифметических прогрессий индексов n_j, для которых T_{n_j}(x_0) = 0 или Q_{n_j}(x_0) = 0. Для решения этой задачи для каждого натурального n найдено разложения на неприводимые множители над полем рациональных чисел Q многочленов T_n(x) и Q_n(x). Эти разложения прямым образом зависят от разложения индекса n на простые множители, а сами неприводимые над Q множители многочленов T_n(x) и Q_n(x) связаны с круговыми многочленами \Phi_k(x) - неприводимыми над Q множителями многочлена x^n+1. Тем самым дано полное описание корней многочленов T_n(x) и Q_n(x), что позволило найти точные оценки сверху на длины периодов функциональных непрерывных дробей ключевых элементов вида \sqrt{f}/x^s, s – целое. В качестве следствия доказано интересное утверждение о конечности числа нормированных дискриминантов ограниченной степени, для которых соответствующие квадратичные иррациональности имеют квазипериодическое разложение в непрерывную дробь. Это следствие можно переформулировать на языке обобщенных якобианов: для неособой гиперэллиптической кривой C: y^2 = f(x) количество обобщенных якобианов, ассоциированных с модулями ограниченной степени и с непустой подгруппой кручения, конечно. Кроме этого, в статье [Федоров Г.В., Доклады РАН. 2020. Том 495.] найден пример эллиптического поля L = K(x)(\sqrt{f}) над K - квадратичным расширением поля Q, в котором длина квазипериода (периода) непрерывной дроби элемента \sqrt{f} достигает максимальной границы, полученной в качестве основного результата статьи. Количество опубликованных работ за второй отчетный год соответствует заявленному плану. План работ по проекту, указанный в заявке, выполнен в полном объеме. | ||
Прикрепленные к НИР результаты
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".