Топологические и алгебраические аспекты теории интегрируемых систем: новые направления и приложенияНИР

Topological and algebraic aspects of the theory of integrable systems: new trends and applications

Источник финансирования НИР

грант РНФ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 26 мая 2020 г.-31 декабря 2020 г. Топологические и алгебраические аспекты теории интегрируемых систем: новые направления и приложения
Результаты этапа: (1) Описаны локальные симплектические инварианты для лагранжевых слоений с особенностями в вещественно-аналитическом случае. В терминах топологии локальной особенности и ее комплексификации найдены условия, при выполнении которых верно следующее утверждение о локальных симплектических инвариантах: две локальные особенности (возможно, вырожденные) послойно симплектоморфны тогда и только тогда, когда между ними существует послойный диффеоморфизм, сохраняющий локальные переменные действия. (2) Для слоений Лиувилля на двумерном симплектическом многообразии получено описание всех полулокальных невырожденных особенностей, для которых верно следующее утверждение о полулокальных симплектических инвариантах: две полулокальные особенности послойно симплектоморфны тогда и только тогда, когда между ними существует послойный диффеоморфизм, сохраняющий переменные действия. (3) Найдены достаточные условия для существования и «жесткости» относительно малых интегрируемых возмущений («скрытой») торической симметрии полулокальной особенности лагранжева слоения, где размерность тора не меньше ранга особенности. Обнаружены торические симметрии для нескольких бесконечных серий вырожденных локальных особенностей. В качестве приложения доказана структурная устойчивость простейших вырожденных особенностей - параболических особенностей с резонансами - в вещественно-аналитическом случае. Классифицированы все гамильтоновы действия k-мерного тора вблизи особой орбиты на симплектическом 2n-мерном многообразии, и доказана "жесткость" нормальных форм этих действий относительно малых возмущений. Доказана эквивариантная версия теоремы Вея (1978) о локальной симплектической нормальной форме невырожденных особенностей. (4) Построен пример интегрируемой биллиардной книжки такой, что ее изоэнергетическая поверхность гомеоморфна связной сумме линзовых пространств и прямых произведений окружности и сферы. Предложен алгоритм реализации произвольного f-графа биллиардными книжками. (5) Исследована топология слоения Лиувилля плоских биллиардов, снабженных гуковским центральным потенциалом и ограниченных дугами софокусных эллипсов и гипербол. Приведены примеры систем динамики твердого тела, лиувиллево эквивалентных данным биллиардным системам. Исследована топология слоения Лиувилля плоского интегрируемого биллиарда в эллипсе с полиномиальным потенциалом четвертого порядка. Для всех значений параметров потенциала построены бифуркационные диаграммы и вычислены инварианты Фоменко-Цишанга. (6) Для любой невырожденной седловой особенности ранга 0 типа прямого произведения, построен интегрируемый биллиард, слоение Лиувилля которого содержит особый слой того же типа. (7) Разработан алгоритм определения топологического типа невырожденных 3-мерных особенностей ранга 1 лиувиллевых слоений алгебраически интегрируемых гамильтоновых систем по формулам, выражающим фазовые переменные через переменные разделения. Получен полный список типичных 3-мерных особенностей ранга 1, которые могут возникать в алгебраически интегрируемых системах. (8) Описаны все параболические особенности ранга 1 системы Ковалевской и обоснована их структурная устойчивость. (9) Начато изучение топологии слоений Лиувилля для типичных бифуркаций ряда параболических особенностей ранга 1 для систем с 2 степенями свободы, зависящих от одного параметра. Изучены случаи резонанса порядков 1, 2 и 4. Разработаны новые методы для топологической классификации слоений Лиувилля с седловыми особенностями на 4-мерных многообразиях. Полностью исследованы некоторые модельные примеры. (10) Продолжалась активная работа над созданием геометрии Нийенхейса, новой области математики, находящейся на стыке дифференциальной геометрии, математической физики и алгебры. (а) Изучены gl-регулярные операторы Нийенхейса и дано их локальное описание. Доказано существование системы координат, в которой оператор приводится к достаточно простой канонической форме (так называемые первая и вторая компаньон-формы). В размерности два найдены явные нормальные формы для таких операторов и обнаружены топологические препятствия к их существованию на замкнутых поверхностях. Доказана «гипотеза о дискриминанте», которая, говоря неформально, утверждает, что страты дискриминантного множества характеристического многочлена остаются инвариантными при возмущениях жордановой клетки в классе операторов Нийенхейса. (б) Описаны нормальные формы структур Пуассона-Нийенхейса в окрестности дифференциально невырожденных точек. (в) Обнаружена неожиданная связь между двумя различными областями геометрии: теорией проективно эквивалентных метрик и теорией согласованных бесконечномерных скобок Пуассона гидродинамического типа. А именно, доказано, что пара проективно эквивалентных метрик, одна из которых плоская, естественным образом задает пару таких скобок. Предложены два способа построения большого семейства согласованных пуассоновых структур по паре геодезически эквивалентных метрик (одна из которых является плоской). Показано, что нетривиальное полиномиальное семейство согласованных пуассоновых структур гидродинамического типа размерности n+2, связанное с многомерными обобщениями уравнений KdV, является единственным и определяется парой проективно эквивалентных метрик. (11) Завершена теоретическая работа по классификации gl-регулярных алгебр Новикова. (12) Исследованы общие алгебраические свойства бипуассоновых пространств и билагранжева грассманиана. (13) Начато исследование полных наборов полиномов в инволюции на полупрямых суммах классических алгебр Ли с несколькими экземплярами пространства стандартного представления на биинволютивность. Особый интерес представляет случай алгебры Ли gl(4)+(R^4)^2. Это один из первых нетривиальных примеров, для которого пока не удалось проверить обобщенную гипотезу Мищенко-Фоменко. Для данной алгебры Ли был построен полный набор функций в инволюции. Было показано, что данный набор не является набором в биинволюции. (14) Исследована интегрируемость геодезических потоков на трехмерных многообразиях, допускающих SL(2,R) геометрию в смысле Терстона. Основными примерами таких многообразий являются факторы M = Γ \ PSL(2,R), где Γ⊂PSL(2,R) – это кофинитная фуксова группа. Показано, что соответствующее фазовое пространство T*M содержит две открытых области с интегрируемым и хаотическим поведением с нулевой и положительной энтропией соответственно. По результатам исследований участниками проекта сделано 19 докладов на десяти международных математических конференциях, шесть работ опубликованы в arxiv.org, одна статья опубликована и шесть статей приняты к печати в реферируемых математических журналах, индексируемых базами Web of Science и Scopus, четыре статьи сданы в печать (две из них в ведущие международные математические Q1-журналы).

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".