Спектральные методы исследования дифференциальных операторов и актуальные задачи математической физикиНИР

Spectral methods of studying differential operators and related problems of mathematical physics

Соисполнители НИР

МГУ имени М.В.Ломоносова Координатор

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. Спектральные методы исследования дифференциальных операторов и актуальные задачи математической физики
Результаты этапа: Разработан алгоритм построения и вычисления быстро сходящегося ряда, представляющего решение (обобщенное или классическое) смешанной задачи для телеграфного уравнения, рассматриваемого в полуполосе в случае, когда оператор по пространственной переменной является существенно несамосопряженным. Рассмотрена краевая задача для заданного в прямоугольнике вырождающегося по одной из переменных эллиптического дифференциального уравнения с аналитическими коэффициентами. С использованием метода спектрального выделения особенностей построено решение этой задачи в виде ряда Пуассона. Для обыкновенных дифференциальных операторов высокого порядка с сингулярными на границе коэффициентами доказано неравенство типа Бесселя для коэффициентов по системе корневых функций широкого класса рассматриваемых операторов. Для обыкновенного дифференциального оператора с особенностью типа предельного круга на границе исследован вопрос о бесселевости собственных и присоединенных функций, понимаемых в широком смысле лишь как решения дифференциальных уравнений со спектральным параметром. Для оператора второго порядка с инволюцией-отражением в главной части исследованы спектральные свойства задачи Коши. В частности, установлена неустойчивость свойства базисности систем корневых функций на всюду плотном множестве параметров, определяющих рассматриваемый оператор. Изучен вопрос о стабилизации и равностабилизации решений параболического уравнения общего вида с растущими на бесконечности коэффициентами как при младших членах уравнения, так и в его главной части. Для двумерного гиперболического дифференциально-разностного уравнения с нелокальными потенциалами построено трехпараметрическое семейство гладких решений. Все сдвиги в потенциалах по пространственной переменной – произвольные вещественные величины, без каких бы то ни было условий соизмеримости. Для двумерного гиперболического уравнения с оператором Бесселя исследована нелокальная задача с неполными граничными данными и интегральным условием первого рода в прямоугольной области. Методом спектрального анализа доказаны теоремы единственности и существования решения поставленной задачи. Для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом в прямо-угольной области исследованы краевые задачи с нелокальными интегральными условиями. Установлен критерий единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости поставленных задач. Рассмотрена задача построения асимптотик решений обыкновенных дифференциальных уравнений с голоморфными коэффициентами, имеющими точку вырождения типа клюва второго порядка. Изучен также вопрос о построении асимптотики и сходимости асимптотических рядов для решений внешней третьей краевой задачи для гиперболического уравнения с голоморфным коэффициентом при слагаемых дифференциального выражения по пространственным переменным. Для нелинейной системы интегральных уравнений, описывающей популяционную динамику биологических сообществ, показано существование нетривиальных решений методами теории неподвижных точек в банаховых пространствах. Установлена устойчивость решений по параметрам используемого замыкания пространственных моментов задачи. Исследованы вопросы существования нулей, совпадений и неподвижных точек у многозначных функционалов в f-метрических пространствах. В этой связи изучены также однопараметрические семейства многозначных отображений типа Земфиреску. Со спектральной точки зрения проанализированы специальные конгруэнции симметрических и эрмитовых матриц, а также их симплектические собственные значения. Исследована проблема конгруэнции юнитоидных матриц и широкого класса невырожденных матриц. Изучены три неклассических нелинейных уравнения с псевдолапласианами четвёртого порядка, содержащих неизвестную функцию, зависящую от трёхмерной пространственной переменной и времени. Для решений трехмерной системы уравнений Лотка-Вольтерры применен аналитический метод исследования стабильности решений, свойств замкнутых траекторий. Изучены подходы к исследованию двухточечных динамических задач линейного программирования и оптимальному управлению их решениями.
2 1 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. Спектральные методы исследования дифференциальных операторов и актуальные задачи математической физики
Результаты этапа: Первым направлением научно-исследовательской работы являлось применение спектральных методов для решения задач математической физики, связанных с неклассическими постановками для дифференциальных выражений. Изучен вопрос об ускорении сходимости рядов, получаемых методом разделения переменных для нелокальных задач, а также исследовано свойство безусловной базисности для дифференциальных операторов второго порядка, содержащих преобразования инволюции в главной части. Спектральный анализ также применен для исследования аналитичности задачи для эллиптического уравнения с нецелым вырождением. Второе направление исследований охватывает вопросы разрешимости и корректности задач для параболических уравнений, а также для гиперболических уравнений с нелокальными членами. Изучена равностабилизация средних от решений параболического уравнения второго порядка общего вида, а также существование и единственность классических решений нелокальных гиперболических задач. Для решения внешней задачи для гиперболического уравнения с периодическими коэффициентами исследован вопрос об асимптотике решения на бесконечности. Была окончательно решена задача о построении асимптотик решений дифференциальных уравнений с голоморфными коэффициентами в окрестности бесконечно удаленной точки в случае иррегулярных особенностей. Кроме того, развивались подходы к исследованию задач, связанных с многозначными отображениями в метрических и квазиметрических пространствах. На основании абстрактных результатов этой теории установлена разрешимость и устойчивость системы нелинейных уравнений, возникающих в модели популяционной динамики биологических сообществ. Для двух нелинейных уравнений - соболевского типа и описывающее процессы в магнитной среде – проанализирована структура множества решений. Одним из специальных направлений исследований является изучение спектральных свойств классов матриц, близких к нормальным. Здесь основные результаты охватывают свойство конгруэнции и подобия в рассматриваемых классах. Исследована также устойчивость положений равновесия нелинейной динамической системы Валлиса и управляемость динамической линейной задачи с нагруженной фазовой траекторией.
3 1 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. Спектральные методы исследования дифференциальных операторов и актуальные задачи математической физики
Результаты этапа: Первым направлением научно-исследовательской работы являлось применение спектральных методов для решения неклассических постановок дифференциальных задач математической физики. Изучен вопрос о построении быстро сходящегося ряда, дающего обобщенное решение смешанной несамосопряженной задачи для телеграфного уравнения, а также исследовано свойство безусловной базисности для сингулярных дифференциальных операторов второго порядка на отрезке, а также операторов, содержащих общее преобразование инволюции в главной части. Спектральный анализ также применен для исследования сингулярно возмущенных задач с использованием спектра предельного оператора. Продолжено изучение аналитичности задачи для эллиптического уравнения с различными нецелыми вырождениями на границе. Второе направление исследований охватывает вопросы разрешимости и корректности задач для параболических уравнений, а также для гиперболических уравнений с нелокальными членами. Изучена скорость стабилизации разности средних Абеля и Чезаро от решения задачи Коши для параболического уравнения общего вида с младшими коэффициентами, а также существование и единственность классических решений гиперболических задач, содержащих либо оператор сдвига по пространственной переменной, либо сингулярный оператор Бесселя. Была исследована равномерная асимптотика решений дифференциальных уравнений с голоморфными коэффициентами в окрестности конечной особой или бесконечно удаленной точки в случае иррегулярных особенностей. Развивались подходы к исследованию прикладных задач, связанных с теоремами о неподвижных точках отображений возникающих в теории игр. На основании абстрактных результатов этой теории установлена разрешимость нелинейного интегрального уравнения, возникающего в модели популяционной динамики биологических сообществ, в случае кусочно-постоянных ядер. Для двух нелинейных уравнений - соболевского типа и описывающего взрывную неустойчивость в автоколебательных системах – проанализирована структура множества решений. Одним из специальных направлений исследований является изучение спектральных свойств классов матриц, имеющих специальную регулярную структуру. Здесь основные результаты охватывают свойство конгруэнции и перестановочности матриц. Исследованы также существование замкнутых траекторий нелинейной системы уравнений Лотка-Вольтерра, устойчивость системы «реакция-диффузия» на плоскости и задача временной динамики городских популяций. Для изучения пространственно-временной изменчивости характеристик модели NEMO циркуляции океана с усвоением данных по методу обобщенного фильтра Калмана применено численное моделирование. Предложен новый подход к решению задач терминального управления с линейной динамикой и краевой задачей линейного конического программирования, а также к задаче терминального управления мультиагентных систем.
4 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. Спектральные методы исследования дифференциальных операторов и актуальные задачи математической физики
Результаты этапа: Первым направлением научно-исследовательской работы являлось применение спектральных методов для решения неклассических постановок дифференциальных задач математической физики. Изучен вопрос о построении ряда, который при минимальных требованиях на правую часть волнового уравнения дает обобщенное решение неоднородной смешанной задачи. Построена асимптотика сильного решения задачи Коши с параметром для оператора Штурма–Лиувилля с сингулярным потенциалом на конечном отрезке с внутренней особой точкой, в которой заданы условия сопряжения, а также оценки этих решений на каждом из отрезков гладкости. Исследованы спектральные свойства самосопряженного оператора второго порядка, содержащего в главном символе вторую производную с преобразованием инволюции общего вида. Описана аналитичность решения краевой задачи для эллиптического уравнения с вырождением малого нецелого порядка. Второе направление исследований охватывает вопросы разрешимости и корректности задач для уравнений смешанного типа, а также для гиперболических уравнений с нелокальными членами. В прямоугольных областях построено (в явном виде) решение краевой задачи с нелокальными условиями и условиями сопряжения для уравнения смешанного типа с вырождением и доказана его единственность. Также рассмотрена краевая задача для эллиптико-гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами, решение которой построено в виде ряда Фурье-Бесселя и при некоторых условиях отделимости доказана единственность. Изучено существование классического решения гиперболического уравнения в полупространстве в случае, когда уравнение содержит суперпозиции и суммы дифференциальных операторов и операторов сдвига. Для дифференциального уравнения третьего порядка с иррегулярной особой точкой построены асимптотики решения в окрестности этой точки. Исследованы равномерные асимптотики решений дифференциальных уравнений второго порядка с произвольными мероморфными коэффициентами. Развивались подходы к исследованию прикладных задач, связанных с теоремами о неподвижных точках отображений. Проанализированы алгоритмы поиска нулей конической функции в метрическом пространстве с векторнозначной конической метрикой и исследованы связанные задачи поиска неподвижных точек и совпадений. Для модели логистической динамики проведён анализ нелинейного интегрального уравнения, описывающего состояние равновесия при трёхпараметрическом замыкании третьего пространственного момента в случае, когда ядра разброса и конкуренции представляют собой кусочно-постоянные функции. Рассмотрены основные подходы к изучению стохастического процесса популяционной динамики неподвижных особей с непрерывным временем и пространством, описаны метод замыкания пространственных моментов и различные методы решения получающейся системы. Для нелинейных уравнений соболевского типа третьего порядка построено семейство точных решений, которые выражены через элементарные и специальные функции. Изучена асимптотическая устойчивость нелинейной системы уравнений в частных производных второго порядка, известной как система типа «реакция-диффузия» Колмогорова—Петровского—Пискунова. Одним из специальных направлений исследований является изучение спектральных свойств классов матриц, имеющих специальную регулярную структуру. Проанализирована структура неособенных решений матричного уравнения типа Янга-Бакстера. Предложен алгоритм приведения класса юнитоидных матриц к диагональному виду конгруэнтными преобразованиями. Для задачи о сигма-коммутировании теплицевой и ганкелевой матриц получены новые классы решений. Для модели NEMO циркуляции океана с усвоением данных по методу обобщенного фильтра Калмана определено вероятностное распределение основных параметров, проведено численное моделирование. Для линейно-квадратической задача оптимального управления с одним закрепленным концом и другим свободным решена задача управляемого синтеза при наличии выпуклых ограничений на управление.
5 1 января 2025 г.-31 декабря 2025 г. Спектральные методы исследования дифференциальных операторов и актуальные задачи математической физики
Результаты этапа: Первым направлением научно-исследовательской работы являлось применение спектральных методов для решения неклассических постановок дифференциальных задач математической физики. Построен метод суммирования ряда Фурье, связанного со смешанной задачей для телеграфного уравнения, рассматриваемого в полуполосе. Обобщенная сумма, полученная этим методом, задается функциональным рядом, сходящимся с экспоненциальной скоростью, соответствует решению обобщенной смешанной задачи, которое, в случае гладких начальных данных, дает сильное решение исходной задачи. Исследованы базисные свойства систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов высокого порядка с интегральными условиями в пространстве суммируемых с квадратом вектор-функций. С помощью интегральных представлений для решений сопряженной спектральной задачи установлены оценки корневых функций в различных метриках, получены условия выполнения для них неравенства типа Бесселя. Используя спектральный анализ, построены классы корректной разрешимости смешанных задач для эволюционного уравнения с инволюцией-отражением по пространственной переменной и нелокальными граничными условиями. Проведен спектральный анализ общих граничных задач для дифференциального уравнения второго порядка с инволюцией-отражением и общими краевыми условиями. Установлена полнота/неполнота систем корневых функций всех граничных задач, а также указаны достаточные условия базисности Рисса таких систем в случае их полноты. Построена асимптотика спектральных характеристик (спектра и собственных функций) дифференциального оператора второго порядка с общей гладкой инволюцией в самосопряженном случае. Используя две модельные эллиптические задачи, показано, что метод регуляризации сингулярных возмущений, разработанный для построения асимптотических решений сингулярно возмущенных задач, может быть эффективно применен для анализа решений иррегулярно вырождающихся эллиптических задач. Для модифицированной краевой задачи Неймана для вырождающегося эллиптического дифференциального уравнения в прямоугольнике доказано существование и его представление в виде ряда. Второе направление исследований охватывает вопросы разрешимости и корректности задач для уравнений смешанного типа, а также для гиперболических уравнений с нелокальными слагаемыми. Исследована краевая задача для уравнения Гельмгольца в круге с краевым условием, содержащим наклонную производную с гёльдеровыми коэффициентами. Доказана однозначная разрешимость задачи при определённых ограничениях на параметр уравнения. Установлена разрешимость задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева- Бицадзе с граничными условиями, заданными на параллельных характеристиках в области гиперболичности уравнения. Рассмотрена классическая задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в полуполосе на эллиптической части и с условием согласования Франкля нормальных производных на линии изменения типа. Доказаны теорема о единственности решения этой задачи, а также теорема существования и единственности вспомогательной задачи для уравнения Лапласа со смешанными граничными условиями. Получены интегральные представления для частных производных решений. Исследовано существование классических решений начальных задач для гиперболических дифференциально-разностных уравнений, содержащих сдвиг по пространственным переменным в младших членах. Рассмотрены задачи, в которых условия задаются как в полупространстве, так и в двумерной полосе с неполными данными на ее части. С помощью подходящих интегральных преобразований и операционной схемы Гельфанда-Шилова получены достаточные условия существования таких решений. В решении проблемы Пуанкаре в аналитической теории дифференциальных уравнений построен общий вид асимптотик решений обыкновенных дифференциальных уравнений с голоморфными или мероморфными коэффициентами в окрестности иррегулярных особых точек в пространствах функций k-экспоненциального роста. Развивались подходы к исследованию прикладных задач, связанных с теоремами о неподвижных точках отображений. Доказана теорема о сохранении, при изменении параметра, существования нулей у семейства многозначных (A, B)-поисковых конических функций на открытом множестве метрического пространства с ТВП-значной конической метрикой. Проанализирована связь полученного результата с другими результатами в этой области. В модели динамики популяции одновидового биологического сообщества, предложенная У. Дикманом и Р. Лоу, описываемой системой интегро-дифференциальных уравнений для пространственных моментов, исследовано существование состояния равновесия. Указаны достаточные условия существования нетривиального решения этой задачи и приведены примеры параметров динамики, которые удовлетворяют этим условиям. Для одного нелинейного уравнения соболевского типа, - уравнения Осколкова-Бенджамина-Бона-Махони-Бургерса – с помощью теста Пенлеве описан класс точных решений. Одним из специальных направлений исследований является изучение спектральных свойств классов матриц, имеющих специальную регулярную структуру. Установлен аналог утверждения об одновременном приведении пары коммутирующих матриц к диагональному виду одним преобразованием. Это утверждение касается пары юнитоидных матриц и преобразований эрмитовой конгруэнции. Предложен метод построения семейств циркулянтов и косых циркулянтов произвольного порядка с заданным рангом, являющихся вещественными, симметричными или кососимметричными. Изучены два аспекта задачи проверки конгруэнтности комплексных матриц. Модифицирован рациональный алгоритм для такой проверки в случае, когда их коквадратом является прямая суммы жордановых клеток разного порядка. Также по-новому проанализирована единственность канонической формы Сергейчука-Хорна для вырожденных матриц. Разработан метод нахождения совместного вероятностного распределения состояний модели динамики океана NEMO, основанный на сборе данных с использованием обобщенного фильтра Кальмана. Выполнены численные расчеты динамики океанических течений, поверхностных и глубинных температур, солености воды, результаты которых проанализированы сравнением с предыдущими подходами в этой проблематике. Изучена задача оптимального управления, порождающая фазовую траекторию, левый конец которой закреплен, а правый конец нагружен конечномерной задачей о вычислении неподвижной точки экстремального отображения. В задаче требуется выбором управления построить в гильбертовом пространстве фазовую траекторию так, чтобы, выйдя из начального положения на левом конце временного отрезка, траектория пришла на правом конце в неподвижную точку экстремального отображения. Для решения задачи в рамках лагранжева формализма предложен новый подход, в основу которого положены седловые достаточные условия оптимальности. Доказана сходимость итеративного вычислительного процесса седлового градиентного типа – сильная по фазовым и сопряженным траекториям, терминальным переменным и слабая по управлению.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".

Прикрепленные файлы

№ Имя Описание Имя файла Размер Добавлен