ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
|
ИСТИНА ИНХС РАН |
||
Получение порядковых оценок поперечников функциональных классов, приближение функций, изучение аппроксимативно-геометрических свойств множеств в различных пространствах, восстановление производных, изучение спектральных и других свойств дифференциальных операторов, приближение в несимметрично нормированных пространствах, изучение особенностей множеств, каустик, приложения к астрофизике и механике.
The following problems are considered: order estimates of width of function classes, approximation of functions, approximative and geometric properties of sets in various spaces, recovery of derivatives, spectral and other properties of differential operators, approximation in asymmetric normed spaces, study of singularities of sets, caustics, applications to astrophysics and mechanics.
В НИР планируется решить ряд важных задач нелинейного анализа, геометрической теории приближений и получение различных приложений в теории функций, теории поперечников, геометрической оптике и дифференциальных уравнениях. Ожидаемые результаты дадут многочисленные приложения в разнообразных областях математики, а также разовьют новые методы и приемы в самой геометрической теории приближения, в экстремальных задачах, в теории поперечников, в дифференциальных уравнениях. Получить порядковые оценки поперечников дискретных весовых функциональных классов на деревьях в случае, когда скорость роста числа вершин дерева является произведением степеней повторных логарифмов, и такой же вид имеют веса. Планируется получить некоторые новые соотношения между коэффициентами в наилучших формулах восстановления производных и, по возможности, применить их, чтобы сократить сложность явного получения наилучших формул. Найти порядковые оценки поперечников весовых классов Соболева на области, удовлетворяющей условию Джона, в случае, когда веса являются функциями расстояния до $h$-множества, при этом функция~$h$ является произведением степеней повторных логарифмов, а параметры, задающие веса, удовлетворяют некоторым предельным соотношениям. Предполагается найти нижнюю грань минимального собственного числа на классе потенциалов для сингулярного оператора Штурма--Лиувилля. На втором году установить связь минимального собственного значения в зависимости от ограниченности потенциала в задаче сингулярного оператора Штурма—Лиувилля на полуоси. На заключительном этапе предполагается решить двойственную задачу и найти оценки для наилучшего приближения в пространствах с несимметричной нормой, т.е. прямые теоремы теории приближения в пространствах с несимметричной нормой. Получить оценки сверху поперечников весовых классов Соболева в случае, когда область имеет распределенную особенность типа нулевых углов (область будет описана в терминах дерева), а веса будут иметь особенность там же, где и область имеет особенность. Найти порядковые оценки поперечников пересечений двух весовых классов Соболева на отрезке с весами, имеющими особенность типа произведения степени и степеней повторных логарифмов. Предполагается, что полученные в ходе реализации проекта результаты будут полезны для лучшего понимания геометрии многомерных выпуклых тел, внесут определенный вклад в развитие теории экстремальных задач, при этом возможны их приложения в теории функций и к некоторым задачам комбинаторики, а также в механике и астрофизике.
Коллектив обладает большим научным заделом для предлагаемых дальнейших исследований по теме проекта. B работах И.Г. Царькова были исследованы необходимые и достаточные условия на множество, обеспечивающие существование непрерывной varepsilon-выборки на это множество для всех $\varepsilon>0$ в нормированных и несимметричных пространствах. Получены новые метрико-топологические теоремы о неподвижных точках многозначных отображений. Получено обобщение классической теоремы Майкла о селекции. Получены различные теоремы о структуре и топологических свойствах особых множеств гиперповерхностей в пространствах $\mathbb R^n$. Ддля ряда конкретных областей описан класс всех гладких решений уравнения эйконала. А.Р.Алимов исследовал соотношения между геометрическими и аппроксимативными свойствами подмножеств банаховых и несимметрично нормированных пространствах. Установлена выпуклость солнц по касательным направлениям единичной сферы. А.А. Васильева получила порядковые оценки поперечников и энтропийных чисел весовых классов Соболева на ряде областей. Ею также получены порядковые оценки поперечников весовых классов Соболева на области, имеющей особенность типа пика. А.И. Козко получил новые явные формулы для спектральных функций для различных сингулярных операторов произвольного порядка, вычислил регуляризованные следы для этих операторов и нашел асимптотику спектра оператора Штурма--Лиувилля на полуоси для произвольного быстрорастущего потенциала. К.С. Рютин получил ряд результатов о концентрации нормы как для элементов произвольного подпространства в пространстве интегрируемых функций, так и для классических тригонометрических полиномов. Найден правильный порядок для колмогоровских поперечников произведения октаэдров в смешанной (2,1)-метрике. А.С. Кочуров получил ряд неравенств типа Колмогорова на прямой и на полупрямой, исследовал их связь с классическим экстремальным принципом Лагранжа и получил ряд новых результатов о связи нормы функции и ее производных
госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию) |
# | Сроки | Название |
1 | 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. | Аппроксимация функций (2021-2025) |
Результаты этапа: Получены существенные продвижения в актуальных задачах геометрической теории приближений, теории экстремальных задач и получены важные приложения к нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных, теоремам вложения функциональных пространств, вычислению поперечников различных классов и построению математических моделей в задачах экономического роста. B частности, выполнено следующее: Найдены порядки колмогоровских поперечников пересечений весовых классов Соболева. Получен окончательный ответ в давно стоящей задаче o колмогоровских $n$-поперечниках пересечений конечномерных шаров размерности $N$ при $n\le N/2$. Получено решение двых классических давно стоящих задач геометрической теории приближений для солнц и строгих солнц в полиэдральных конечномерных пространствах. Дано новое определение равномерно выпуклого пространства с несимметричной нормой и несимметричной полунормой, изучены аппроксимативные свойства множеств в таких пространствах. Решена задача построения теории преломления в несимметричных пространствах. Дан ответ в задаче существования непрерывных выборок из операторов наилучшего и почти наилучшего приближения для абстрактных и конкретных объектов аппроксимации. Получено решение в задаче об устойчивости почти чебышёвских центров. Исследованы свойства монотонно линейно связных множеств в пространствах $C(Q)$ и $L^1$. Найдены приложения в математической экономике для модели Рамсея--Касса--Купманса. B задаче o max-аппроксимации исследованы вопросы max-солнечности и дан ответ на вопрос об одноточечности max-чебышёвских множеств с $w^*$-непрерывной проекцией в сопряженных пространствах. Разработан эффективный алгоритм восстановления ридж-функции вида $g(x)=f(\langle a,x\rangle) $ на $n$-мерном единичном шаре для достаточно естественного класса аналитических функций~$f$ и без априорных ограничений на вектор, задающего ридж-функцию. Получены приложения в задаче А.Н.Колмогорова об оценке наибольшего значения модуля $k$-ой производной функции при заданных ограничениях на норму функции и норму её $n$-ой производной в равномерной метрике. Разработан вычислительный алгоритм оценки равномерной нормы $k$-ой производной функции. | ||
2 | 1 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. | Аппроксимация функций (2021-2025) |
Результаты этапа: - В 2022 г. в НИР - Решена давно стоящая задача (около 50 лет) о B-связности солнц в конечномерных пространствах. Именно, в четырехмерном нормированном пространстве построен пример не B-связного солнца (И.Г. Царьков). - Получено томографическое описание солнц в терминах аппроксимативно-геометрических свойств их сечений касательными плоскостями для трехмерных пространств с цилиндрической нормой. (А.Р. Алимов) - Получены новые характеризационные теоремы для чебышёвских множеств и солнц в трехмерных нормированных пространствах. (А.Р. Алимов) В теории приближений хорошо известна теорема П. Орно–Ю.А. Брудного–Е.А. Горина, утверждающая отсутствие нетривиальных конечномерных чебышёвских множеств в пространстве . Для конечномерных подпространств аналогичный результат был получен ранее М.Г. Крейном и затем P. Фелпсом в общем случае пространства ) (здесь -- безатомная -конечная мера). В 2021 г. И.Г. Царьков получил существенное обобщение и усиление этой теоремы. Именно, им показано, что всякое ограниченно компактное солнце в выпукло, где -- неатомарная -аддитивная мера. В случае, когда размерность больше и мера имеет атомы, указанное выше утверждение становится неверным. - В 2022 г. решены следующие актуальные задачи, посвященные общим вопросам теории несимметричных пространств и вопросам геометрической теории приближений в таких пространствах. - Для несимметрично нормированных пространств (в том числе для существенно несимметричных) дано новое определение равномерно выпуклых несимметричных пространств. (И.Г. Царьков) - Для равномерно выпуклых несимметричных пространств установлены свойства, аналогичные известным свойствам в классических нормированных равномерно выпуклых пространств. (И.Г. Царьков) - Исследованы задачи о непрерывности и разрывности метрической функции, метрической проекции в существенно несимметричных пространствах. (И.Г. Царьков) - Изучены свойства обобщенных n-ломаных относительно монотонно линейных ограниченно компактных подмножеств пространства C[a,b]. Доказано, что такие множества монотонно линейно связны и являются солнцами. (И.Г. Царьков) - Введено новое понятие алгебраической полноты для обобщенных дробно-рациональных функций. Основываясь на этом понятии, получены серьезные продвижения в вопросах существовании и единственности обобщенного дробно-рационального приближения. (И.Г. Царьков, А.Р. Алимов). Получены приложения в задаче о гладких (классических) решениях уравнения эйконала. При решении этой задачи было показано, что всякая гиперповерхность, множество особенностей которой есть одномерная кривая, концы которой уходят в бесконечность, может быть только цилиндром, ось симметрии которого и есть эта кривая. Построен алгоритм для каустик отражений от границ разделения сред. Проведено сравнение полученных результатов с реальными изображениями. Создана конкурирующая теория дисков Маха, как каустик многократных отражений. На сегодняшний момент интенсивно развивающимися направлениями в математике являются теория вложения весовых функциональных пространств и тесно связанная с ней теория поперечников. Эти направления имеют важное значение для приложений в теории дифференциальных уравнений (Л. Д. Кудрявцев, С.М. Никольский, Х. Трибель, B.М. Тихомиров, О.В. Бесов, A.П. Буслаев, Б.С.Кашин, К. Мынбаев, М. Отелбаев, D. D. Haroske, L. Skrzypczak, О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева, О.А. Олейник, Ю.С. Никольский, J.-L. Lions, А.В. Фурсиков, А.С. Кочуров, А.В. Горшков), теории вероятностей (W. Linde, M.A. Lifshits, Shi Zhan) и численных методов (К.И. Бабенко, Н. С. Бахвалов, Р. П. Федоренко, И.B. Бойков, A.Н. Тында, С. К. Годунов, B. С. Рябенький и др.). Одно из направлений НИР связано с получением новых теорем вложения весовых функциональных классов на многомерных областях, также получением порядковых оценок поперечников. Эти исследования, несомненно, будут полезны в различных приложениях в теории дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В 2022 г. в НИР - Получены порядковые оценки колмогоровских поперечников для весовых функциональных классов, заданных ограничением на старшие и нулевые частные производные, для областей, удовлетворяющих условию Джона. (А.А. Васильева) - Получены порядковые оценки колмогоровских поперечников пересечения произвольного семейства шаров пространств l_p^N (с разными p) в пространстве l_q^N, где n \le N/2. (А.А. Васильева) - При доказательстве оценок поперечников также были получены новые теоремы вложения весовых классов Соболева с ограничениями на нулевую и старшую производную в пространство L_{q,v} с весом. (А.А. Васильева) | ||
3 | 1 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. | Аппроксимация функций (2021-2025) |
Результаты этапа: Получен ряд новых результатов геометрической теории приближений в несимметрично нормированных пространствах непрерывных функций с несимметричным весом. Получен ряд свойств, характеризующих строгие протосолнца (множества Колмогорова) в таких пространствах. Изучено новое понятия max-$(f,\delta$)-аттрактора и max-$(f,\delta$)-солнца. Эти понятие обобщают классическиепонятия max- -аттрактора и max-солнца. Доказаны теоремы об одноточечности max-$(f,\delta$)-аттракторов в несимметричных и обычных нормируемых пространствах. Оценена степень разрывности max-проектора на необязательно замкнутое множество в несимметричном и нормируемым пространствах, при которых это множество оказывается одноточечным. Исследованы классические вопросы теории приближения на конус-пространствах, снабженных как симметричной и несимметричной полунормой. Создана теория рефлексивности в конус-пространствах (полулинейных пространствах). Охарактеризованы рефлексивные конус-пространства в терминах компактности единичного шара в топологии правой поточечной сходимости. На случай несимметричных конус-пространств перенесены классические результаты Джеймса о рефлексивности. Изучены свойства локальной солнечности и регулярности в существенно несимметричных пространствах, являющихся локально равномерно выпуклыми. Эти исследования затем были применены для изучения гладких решений уравнения эйконала. Также были рассмотрены приложения теории каустики для некоторых вопросов астрофизики. Приведены иллюстрации известных фотоизображений и модельные картинки, объясняющие этапы развития эллиптических галактик и формирование из них спиральных галактик. Поясняется как образуются галактики с баром и объясняется статистические пропорции их количества среди всех спиральных галактик. Впервые объясняется образование галактик с полярным кольцом, как результат формирования каустики, т.е. как процесс эволюции эллиптических галактик, а не столкновения различных галактик. Получено обобщение классической теоремы Майкла о непрерывной выборке из многозначных необязательно выпуклозначных отображений. Получены различные критерии различных свойств связности множеств в несимметричных пространствах.Решена давно стоящая (около 60 лет) задача о неединственности приближения классическими дробно-рациональными функциями в пространстве $L_1[a,b]$.Получены порядковые оценки колмогоровских поперечников пересечения двух конечномерных шаров в пространстве со смешанной нормой при дополнительных условиях на параметры. Сами шары также определены относительно смешанных норм. Получены порядковые оценки колмогоровских поперечников пересечения конечного семейства классов Соболева на области, удовлетворяющей условию Джона. В общем случае порядок записывается в терминах точки минимума некоторой кусочно-аффинной выпуклой функции. При некоторых дополнительных ограничениях порядок выписывается явно. Получены различные аналоги теорем Куна-Таккера для конус-пространств. | ||
4 | 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. | Аппроксимация функций (2021-2025) |
Результаты этапа: |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".