ИСТИНА

Изучить постановки и разрешимость многомерных задач типа Проттера-Моравец для уравнений смешанного типа. Изучить многомерную задачу Проттера-Моравец для уравнений типа Трикоми и Келдыша. Исследовать решение задачи Проттера-Моравец с помощью функции Римана-Адамара. Исследовать рост сингулярного решения задачи Проттера-Моравец для гиперболических уравнений. Распространить принцип несуществования гладких классических решений на обобщенные решения задач для квазилинейных уравнений смешанного типа, отсутствие гладкости которых является естественным для уравнений смешанного типа. Продолжить исследование нелинейной задачи Дарбу, а также нелинейной многомерной задачи Проттера-Моравец. Изучить задачи дробной диффузии по пространству и времени и устойчивость их решений. Изучить и сравнить различные постановки задачи Дирихле для разных определений дробного лапласиана. В отличие от модели с дробным лапласианом для пространственных переменных, интересные утверждения можно также сделать с помощью нелинейного возмущаемого уравнения, включающего дробную производную по времени. Будет изучена устойчивость решений смешанных задач для таких нелокальных уравнений. Изучить вопросы полноты, минимальности и базисности в пространствах L_p и C корневых функций спектральных задач со спектральным параметром в граничных условиях, возникающих при решении смешанных задач для уравнения теплопроводности с производными второго порядка на границе, а также сформулировать условия на физические параметры, при которых появляются кратные собственные значения. Изучить асимптотическое поведение спектра и собственных функций интегральных операторов типа свертки с инволюцией путем сведения соответствующих задач к вырождающимся сингулярным интегральным уравнениям с инволюцией и переменными коэффициентами.

2-D boundary value problems for equations of mixed type have been actively studied since the late 1940s - early 1950s; this period includes the results, in particular, for the Lavrentiev-Bitsadze equation. One of the areas for further research was multidimensional, first of all, three-dimensional, case. The starting point was the famous work of M. Protter, in which a multidimensional analogue of the 2-D Guderley-Moravets problem for the elliptic-hyperbolic Gellerstedt equation was proposed. It was expected that the methods used in the study of two-dimensional problems would prove, after proper modification, suitable for the study of multidimensional analogues. However, the multidimensional case turned out to be completely different, and even now, after more than half a century, there is no general understanding of the situation. Even the question of how to set multidimensional problems correctly remains largely open. Despite the fact that Aziz and Schneider proved the uniqueness of quasiregular solutions, such solutions cannot exist. Some difficulties and differences from the planar case are illustrated by Protter problems for hyperbolic equations, which are planned to be studied in this Project. They may be considered as a multidimensional analog of plane Darboux problems, when homogeneous boundary conditions are specified on the characteristic and on the non-characteristic section of the boundary. Initially, it was expected that such problems would have a classical solution with sufficiently smooth right-hand sides. However, it soon became clear that, unlike the planar Darboux problem, the Protter problem for the hyperbolic equation is incorrect: a homogeneous adjoint problem has an infinite number of linearly independent classical solutions. Thus, in the framework of the classical approach, the problem is not Fredholm (its cokernel is infinite-dimensional). In order to avoid the need to set an infinite number of necessary conditions for obtaining classical solvability, the concept of a generalized solution was introduced. It is now known that for smooth right-hand sides the only generalized solution to the Protter problem can have a strong singularity of power type at the origin. For the Protter problems for the wave equation, it is shown that for each positive integer n there exists a generalized solution having a power-law singularity of order n at the origin. It is interesting to note that the singularity is isolated at the origin — the top of the characteristic cone and does not propagate over the bicharacteristics, in contrast to the traditional case where the singularity propagates. In this Project, it is planned to study the behavior of generalized solutions of the Protter problems for hyperbolic equations. The Project plans to develop the ideas of S. Pokhozhaev as applied to boundary value problems for nonlinear equations of mixed type. An important problem is to propagate the principle of nonexistence of smooth classical solutions to generalized solutions of corresponding problems which lower smoothness is natural for the equations of mixed type. The Project will study mathematical models described by partial differential equations with fractional powers of an elliptic operator or fractional derivatives. Project participants made significant progress in the study of spectral problems with a spectral parameter in boundary conditions, in particular, those arising in solving mixed problems for the heat equation with second-order derivatives on the boundary. In the Project, it is planned to study completeness, minimality, and basicity in the spaces L_p and C of corresponding root functions, as well as formulate conditions on physical parameters under which multiple eigenvalues appear. Recently, project participants have been actively investigating problems associated with singular integral operators: they have proved solvability of a boundary value problem with deviation from the characteristic for the Gellerstedt equation, have solved some problems with mixed boundary conditions, including the condition with an inclined derivative, for the Helmholtz equation and a mixed type equation with spectral parameter, have studied the asymptotic behavior of the eigenvalues and eigenfunctions of convolution-type integral operators. The project plans to study the asymptotic behavior of the spectrum and eigenfunctions of integral operators by reducing the corresponding problems to degenerate singular integral equations with involution and variable coefficients.

Изучить постановки и разрешимость многомерных задач типа Проттера-Моравец для уравнений смешанного типа. Изучить многомерную задачу Проттера-Моравец для уравнений типа Трикоми и Келдыша. Исследовать решение задачи Проттера-Моравец с помощью функции Римана-Адамара. Исследовать рост сингулярного решения задачи Проттера-Моравец для гиперболических уравнений. Распространить принцип несуществования гладких классических решений на обобщенные решения задач для квазилинейных уравнений смешанного типа, отсутствие гладкости которых является естественным для уравнений смешанного типа. Продолжить исследование нелинейной задачи Дарбу, а также нелинейной многомерной задачи Проттера-Моравец. Изучить задачи дробной диффузии по пространству и времени и устойчивость их решений. Изучить и сравнить различные постановки задачи Дирихле для разных определений дробного лапласиана. В отличие от модели с дробным лапласианом для пространственных переменных, интересные утверждения можно также сделать с помощью нелинейного возмущаемого уравнения, включающего дробную производную по времени. Будет изучена устойчивость решений смешанных задач для таких нелокальных уравнений. Изучить вопросы полноты, минимальности и базисности в пространствах L_p и C корневых функций спектральных задач со спектральным параметром в граничных условиях, возникающих при решении смешанных задач для уравнения теплопроводности с производными второго порядка на границе, а также сформулировать условия на физические параметры, при которых появляются кратные собственные значения. Изучить асимптотическое поведение спектра и собственных функций интегральных операторов типа свертки с инволюцией путем сведения соответствующих задач к вырождающимся сингулярным интегральным уравнениям с инволюцией и переменными коэффициентами.

Е.И. Моисеевым и его учениками получены следующие результаты. В явном аналитическом виде (в виде двойных рядов с явно найденными коэффициентами) найдены регулярные (классические) решения аналогов смешанных задач Трикоми, Франкля и Геллерстедта для модельного уравнения Лаврентьева-Бицадзе в трехмерных областях. Доказана единственность регулярного решения аналога задачи Трикоми. Получены равномерные и абсолютные оценки на коэффициенты биортогонального разложения граничной функции по двум переменным для различных тригонометрических систем, соответствующих решаемой задаче. Сформулированы достаточные условия, которым удовлетворяет искомая функция на границе, для существования классических решений аналогов смешанных задач Трикоми, Франкля и Геллерстедта в трехмерных областях. Получено интегральное представление решения задачи Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. В совместной работе Е.И. Моисеева и Н.И. Юрчука изучены классические и обобщенные решения задач для телеграфных уравнений с потенциалом Дирака. Е.И. Моисеевым и А.А. Холомеевой рассмотрен аналог задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в трехмерных областях. А.А. Полосиным изучены задачи с наклонной производной для уравнения со спектральным параметром в различных областях.