ИСТИНА

В широком смысле, целью проекта является изучение явления некомпактности в интегрируемых гамильтоновых системах и возникающих при этом эффектов. Основным классом изучаемых нами систем будут аналоги известных интегрируемых механических систем, рассмотренные в псевдо-евклидовом пространстве. Основными направлениями проекта будут: (1) топологический анализ конкретных систем динамики твердого тела в псевдо-евклидовом пространстве: (2) развитие новых методов топологического анализа таких систем и адаптация уже известных (из "классического" случая) подходов к этому новому классу систем (3) топологический анализ интегрируемых биллиардов в пространстве Минковского и их обобщений. Составление достаточно представительного набора систем с некомпактными слоениями и некритическими бифуркациями, топологические свойства которых известны, как ожидается, будет являться важным шагом для решения общей задачи: построения классификации таких систем при некоторых "разумных" ограничениях на них.

In this project, we will study several series of integrable systems defined in pseudo-Euclidean spaces. First of all, we are talking about such analogues of the well-known integrable problems of rigid body dynamics. As studies of pseudo-Euclidean tops by Euler, Lagrange and Kovalevskaya have shown, such systems have both compact and non-compact layers in their Liouville foliation. Moreover, they contain non-compact and non-critical bifurcations, i.e., rearrangements of the foliation that occur without a drop in the rank of the moment map. Compilation of a sufficiently detailed and representative list of such singularities occurring in systems from physics and mechanics will undoubtedly be useful for further transition to a more general problem of constructing a theory of topological classification of such systems with some "reasonable" restrictions. We plan to describe the topology of the Liouville foliations of a number of specific systems that significantly complicate the classical Euler case (more precisely, their analogues in the pseudo-Euclidean space). At the same time, as expected, for working with pseudo-Euclidean systems, it will be possible to adapt the well-known methods of S. Smale and MP Kharlamov, known in the topological analysis of integrable and Hamiltonian systems. Another direction will be the study of integrable billiards in the Minkowski space and the result of combining this class with the class of billiards with slip introduced recently by A.T.Fomenko.

Планируется изучить топологию псевдо-евклидовых аналогов системы Жуковского (волчок Эйлера с гиростатом), псевдо-евклидовых аналогов волчка Эйлера-so(4) и Эйлера-so(3.1). Нас будет интересовать вычисление топологических инвариантов таких систем, т.е описание их слоений Лиувилля при разных значениях параметров и констант первых интегралов. Как ожидается, в рамках реализации проекта к псевдо-евклидову случаю удастся адаптировать известные подходы С.Смейла (введение приведенного потенциала) и М.П.Харламова (метод булевых функций и допустимых областей). Сами методы нашли широкое применение в исследованиях топологии интегрируемых и гамильтоновых систем, и потому построение их псевдо-евклидовых аналогов выглядит важной задачей для дальнейшего анализа более трудных систем из указанного класса. При изучении интегрируемых биллиардов в пространстве Минковского (в том числе, на границах столов которых было введено проскальзывание) нами планируется изучить их топологию слоений Лиувилля, вычислить топологические инварианты и описать особенности этих систем.

Руководитель проекта имеет ряд публикаций, посвященных исследованию топологических свойств интегрируемых систем. По результатам анализа системы Ковалевской защищена кандидатская диссертация, результаты представлены на ведущих конференциях (Finite dimensional Integrable Systems 2017 и 2019, Topology and its Applications 2018, на конференции по прикладной топологии в Киото 2019, ряде недавних конференций и семинаров высокого уровня). Полученные результаты были представлены на известные научные конкурсы для молодых ученых (результаты кандидатской диссертации -- на конкурс Мёбиуса, они же вместе с результатами изучения биллиардов -- на конкурс фонда "Талант и успех"), и были приняты в финальный тур. Недавние результаты по исследованию псевдо-евклидова аналога системы Эйлера были изложены на конференциях высокого уровня (Казань 2021, Классическая и современная геометрия 2021, пленарный доклад В.А.Кибкало на Воронежской зимней школе С.Г.Крейна 2022). Препринт доступен на сайте http://dfgm.math.msu.su/files/RSF-papers4/Kibkak_22.pdf см. http://dfgm.math.msu.su/RSF_project.php Молодым участником проекта студентом Г.В.Белозеровым были успешно освоены подходы М.П.Харламова (метод допустимых областей и метод булевых функций для систем с алгебраическим разделением переменных) применение которых позволило ему решить важные задачи о биллиардах с потенциалом на двумерных и трехмерных софокусных столах, а также о геодезических потоках на двумерных поверхностях и квадриках в R^3. В недавней работе Г.В.Белозеровым изучены системы биллиарда с потенциалом Гука в трехмерных областях, ограниченных квадриками в R^3.