ИСТИНА

Целью проекта является систематическое изучение интегрируемых обобщений биллиардов: их комбинаторная и топологическая классификация, вычисление инвариантов и изучение особенностей, моделирование такими системами лагранжевых слоений с особенностями (слоений Лиувилля), возникающих на фазовых пространствах интегрируемых гамильтоновых системах. Важным направлением также является изучение квазиклассических асимптотик квантовых задач, связанных с интегрируемыми биллиардами и системами, близкими к интегрируемым. Фундаментальные научные проблемы, на которые нацелен настоящий проекта, могут быть объединены по трем следующим направлениям: 1) классификация обобщенных биллиардов, их кодирование и алгоритмы подсчета инвариантов (1.1) комбинаторная и топологическая классификация интегрируемых обобщений биллиардов (1.2) алгоритмы подсчета топологических инвариантов для различных интегрируемых обобщений биллиардов и их программная реализация 2) обобщенные биллиарды, геодезические и особенности интегрируемых систем (2.1) топология слоений Лиувилля и особенностей для геодезических потоков на квадриках и интегрируемых биллиардов в софокусных областях: (2.2) моделирование топологии невырожденных особенностей интегрируемых систем при помощи биллиардных книжек с потенциалом и их многомерных аналогов (2.3) исследование гипотезы Фоменко о биллиардах, т.е. вопроса о широте класса интегрируемых обобщений биллиардов в классе интегрируемых систем с точки зрения топологии слоений Лиувилля 3) квазиклассические асимптотики квантовых задач, связанных с биллиардами (3.1) почти интегрируемые биллиарды в области, ограниченной торической поверхностью и связанные с ними асимптотические собственные функции оператора Лапласа типа шепчущих галерей. (3.2) биллиардные книжки, склеенные из экземпляров двумерной камеры Вейля и связанные с ними квазиклассические асимптотики Рассматриваемые нами задачи тесно связаны с вопросами алгебры, теории накрытий и теории особенностей, имеют приложения к динамике твердого тела, математической физике и акустике.

The aim of the project is a systematic study of integrable generalizations of billiards: their combinatorial and topological classification, calculation of invariants and study of singularities, modeling by such systems of Lagrangian foliations with singularities (Liouville foliations) arising on the phase spaces of integrable Hamiltonian systems. An important direction is also the study of semiclassical asymptotics of quantum problems related to integrable billiards and systems close to integrable. The fundamental scientific problems addressed by this project can be grouped into three areas: 1) classification of generalized billiards, their coding and algorithms for calculatio of their invariants (1.1) combinatorial and topological classification of integrable generalizations of billiards (1.2) algorithms for calculation of topological invariants for various integrable generalizations of billiards and their software implementation 2) generalized billiards, geodesics, and singularities of integrable systems (2.1) topology of Liouville foliations and singularities for geodesic flows on confocal quadrics and integrable billiards in confocal domains: (2.2) topology modeling of non-degenerate singularities of integrable systems using billiard books with potential and their multidimensional analogues (2.3) investigation of Fomenko's conjecture about billiards, i.e. the question of the breadth of the class of integrable generalizations of billiards in the class of integrable systems from the point of view of the topology of Liouville foliations 3) semiclassical asymptotics of quantum problems related to billiards (3.1) almost integrable billiards in a domain bounded by a toric surface and related asymptotic eigenfunctions of the whispering gallery type Laplace operator. (3.2) billiard books glued together from instances of the two-dimensional Weil chamber and related semiclassical asymptotics The problems we consider are closely related to questions of algebra, covering theory, and singularity theory, and have applications to rigid body dynamics, mathematical physics, and acoustics.

Коротко перечислим основные ожидаемые результаты проекта: -- построение и программная реализация алгоритма, вычисляющего топологические инварианты биллиардной книжки В отличие от многих интегрируемых систем из приложений: задач механики, геометрии и математической физики, для подсчета инварианта биллиарда не требуется вычислять критическое множество (т.е. решать систему алгебраических уравнений) или интегрировать форму по циклу на лагранжевом слое. Это связано с "предсказуемым" устройством проекции фазового пространства на конфигурационное. Тем не менее, чем больше фокусов содержат листы стола-книжки, тем более трудоемким является описание циклов. Мы ожидаем получить инструмент, который сможет "поставить на конвейер" подсчет таких инвариантов, что несомненно позволит как выделять новые закономерности, так и реализовывать биллиардами непростые классы гомеоморфности 3-многообразий и классы послойной гомеоморфности слоений на них. -- задача классификации биллиардных книжек кажется достаточно "необозримой". Мы ожидаем построение полной классификации для некоторых важных классов таких систем (в том числе, с опорой на результаты работы алгоритма) и найти преобразования книжек, которые бы приводили стол-комплекс к некоторому "простому" виду, а перестановки и топология слоения менялись бы "предсказуемым" образом. Данная задача, как ожидается, окажется в частных случаях связанной с вопросом о расщпеляемости седловых особенностей ранга 0. -- нами планируется обобщить конструкции биллиардных книжек и методы исследования их топологии слоений на большие размерности. Поскольку биллиард является пределом геодезических потоков, то мы планируем исследовать задачу о геодезическом потоке на многомерном эллипсоиде с топологической точки зрения. Акцент при этом планируется сделать на случае, когда эллипсоид имеет совпадающие пары полуосей. -- мы планируем выяснить, насколько разнообразные невырожденные особенности встречаются в системах геодезических потоках на эллипсоидах, а их предельных случаях - биллиардах, а главное, в классе биллиардных книжек. Моделирование невырожденных особенностей ранга 0 (слоев с положениями равновесия) в системах с 2 степенями свободы оказалось возможно с использованием биллиардных книжек с потенциалом (в случае эллиптических и фокусных особенностей, а также особенностей типа прямого произведения нами был получен ответ ранее). В настоящем проекте мы планируем завершить исследование седловых особенностей, задаваемых почти прямым произведением. Как ожидается, в многомерном случае удастся промоделировать достаточно широкий класс седловых особенностей, особенностей типа фокус-седло систем с 3 степенями свободы. Ответ на вопрос о моделировании особенностей с несколькими фокусными компонентами будет зависеть от топологических свойств геодезических потоков эллипсоидов с совпадающими полуосями (возможно, при добавлении потенциала Гука). -- мы планируем изучить различные интегрируемые модификации классических биллиардов и биллиардных книжек, в первую очередь, интегрируемые биллиарды с полиномиальными потенциалами и топологические биллиарды с проскальзыванием (т.е. факторизацией). С опорой на методы М.П.Харламова для систем с алгебраическим разделением переменных и классификацией топологических биллиардов, выполненной ранее руководителем проекта, мы планируем строить классификацию описанных классов систем. При анализе квазиклассических асимптотик нами планируется построить асимптотические собственные функции оператора Лапласа типа шепчущих галерей для тора вращения, представив их с помощью функций Эйри, а также квазиклассических асимптотики отвечающие биллиардным книжкам на основе камеры Вейля, и исследовать связи классических биллиардов с квазиклассическими асимптотиками на примере рассматриваемой задачи. В результате проекта мы планируем существенно расширить наше понимание феномена биллиардных книжек, топологических свойств таких систем и их связи с известными конструкциями из математической физики (например, многоэкземплярных пространств, Бабич Булдырев 1972). В частности, мы ожидаем обнаружения новых примеров моделирования интегрируемых систем из приложений, а также их весьма нетривиальных особенностей, при помощи билллиардов.

Научной школой А.Т. Фоменко давно и плодотворно исследуются топологические, алгебраические, геометрические и динамические свойства интегрируемых систем. Руководитель проекта разработал оригинальные методы работы с кусочно-гладкими системами интегрируемых биллиардов, позволяющие успешно показывать выполнение ключевых фактов из теории гладких интегрируемых систем для рассматриваемых руководителем систем интегрируемых биллиардов. На основе результатов, полученных В.В. Ведюшкиной, А.Т. Фоменко и их учениками, В.В. Ведюшкина и А.Т. Фоменко предложили подробную и проработанную программу исследований в области интегрируемых биллиардов. Основными средствами ее реализации предполагаются классы интегрируемых биллиардов, открытые В.В. Ведюшкиной, и ряд других интегрируемых биллиардов, изучавшихся в работах ведущих ученых мирового уровня в интегрируемых системах и биллиардах: биллиарды с потенциалами (В.В.Козлов, Ю.Н. Федоров, другие), магнитные биллиарды (А.Е. Миронов, М. Бялый), предложенные А.Т.оменко биллиарды с проскальзыванием как подкласс биллиардов с нетривиальным законом преломления на границе, рассматривавшихся Е.А. Кудрявцевой [Ku15] на основе подхода В.Ф.Лазуткина склейки фазового пространства гамильтоновой системы из отдельных частей, геодезические биллиарды, т.е. движение частицы по двумерной квадрике по геодезическим с отражением от границы, являющейся линией пересечения с другой квадрикой того же семейства (такие биллиарды, согласно В.В. Козлову и Д.В.Трещеву, интегрируемы).