| Результаты этапа: В качестве контура построения ленты поляризации использовались окружности малого радиуса с центром в начале координат (то есть, в точке сингулярности круговой поляризации). Вычисленные в вышеуказанном приближении компоненты вектора, определяющего направление главной оси эллипса поляризации светового поля в окрестности точки сингулярности круговой поляризации, позволили определить характер вращения главной оси эллипса поляризации при движении вдоль замкнутой кривой, являющейся основой для построения ленты, и, в итоге, вывести формулы для коэффициентов перекручивания образующихся лент большой и малой осей эллипса поляризации. Бескоординатный вид полученных формул, делает их удобными для использования в практических приложениях. Коэффициенты перекручивания лент, образованных большой и малой осями эллипсов поляризации оказались равными по модулю, но противоположенными по знаку, что позволило дать объяснение этой особенности, упомянутой в некоторых ранее выполненных работах, где проводилось численное моделирования рассеяния плоской эллиптически поляризованной волны на наноразмерной диэлектрической сфере. Наши исследования показали, что коэффициент перекручивания ленты, заметаемой большой осью эллипса поляризации, зависит не только от характеристик поля в точке сингулярности круговой поляризации, но и от ориентации самого контура построения. Полученные формулы неприемлемы в одном частном случае, когда контур построения ленты лежит в плоскости вращения вектора напряженности электрического поля. Для исправления этой ситуации надо развить теорию, используя следующий порядок теории возмущений.
В рамках выполнения плана работы в отчетный период также анализировалась топология оптических лент, построенных численными методами вдоль не лежащих в одной плоскости контуров, охватывающих линии сингулярности поляризации электрического поля, рассеянного металлическим эллипсоидом при падении на него плоской эллиптически поляризованной монохроматической волны. Особое внимание уделялось трём характеризующим ленту параметрам, а именно индексу внутреннего перекручивания, индексу зацепления краёв и коэффициенту перекручивания. В случае построения ленты вдоль плоского контура эти три характеристики тождественны. Нами исследованы топологические свойства оптических лент, построенных на не лежащих в пределах одной плоскости замкнутых контурах, выход которых за пределы плоскости составляет около десяти процентов от его характерного размера.
Показано, что перекрученность каждой из построенных вблизи частицы лент может быть охарактеризована индексами зацепления краёв и внутреннего перекручивания или коэффициентом перекручивания. Показано, что от использования в этой роли коэффициента перекручивания следует отказаться, поскольку для него возможно непрерывное изменение по мере гладкой деформации контура построения ленты, что наиболее существенно противоречит требованиям, предъявляемым к топологическим индексам. Индекс зацепления краёв может быть использован в роли аналога числа перекручиваний ленты, построенной на окружности, но более близким аналогом последнего является индекс внутреннего перекручивания, определяемый как разность коэффициентов перекручивания ленты и полного геометрического кручения контура её построения. К свойствам, подчёркивающим эту аналогию, следует, прежде всего, отнести следующие. Индекс внутреннего перекручивания принимает целые (полуцелые) значения тогда и только тогда, когда коэффициент зацепления контура построения с линиями сингулярности круговой поляризации является чётным (нечётным). В подавляющем большинстве случаев для лент небольшой длины модуль коэффициента её внутреннего перекручивания не превосходит половины модуля коэффициента зацепления контура построения ленты с линией сингулярности круговой поляризации. Для лент, заметаемых векторами большой и малой полуосей эллипса поляризации при их прослеживании вдоль одного контура преобладают противоположные знаки индексов внутреннего перекручивания. Также стоит отметить, что существовавшее для плоских контуров равенство числа полных перекручиваний ленты числу охватываемых ей 𝐶-линий превращается в случае объёмных кривых в нестрогое неравенство: индекс внутреннего пекручивания оптической ленты вектора любой полуоси эллипса поляризации меньше половины индекса зацепления её контура построения с 𝐶-линиями поля, либо равен ему (при условии достаточной малости контура).
Мы также описали топологию линий сингулярности поляризации электрического поля отраженного от параболического зеркала (фокусное расстояние f) излучения, возникающего в результате падения на него эллиптически поляризованных пучков различного типа. Особое внимание уделялось узлам и зацеплениям линий сингулярности поляризации, а также процессам их расцеплений и пересоединений, возникающим при изменении состояния поляризации падающей на зеркало волны. Это представляется важным для дальнейшего исследования лент, построенных вокруг по-разному сцепленных линий сингулярности поляризации. Считалось, что неоднородно поляризованный лазерный пучок падает параллельно оси z декартовой системы координат xyz из области z>0 на вогнутое параболическое зеркало, фокус и центр которого расположены на оси z, в точках z=0 и z=-f соответственно. Для численного расчёта вектора напряженности электрического поля отраженного пучка в окрестности геометрического фокуса мы использовали известное из литературы точное решение уравнений Максвелла в квадратурной форме, для случая жёсткой осевой фокусировки падающего пучка параболическим зеркалом. Методика вычисления приведённых в ней интегралов была апробирована прямым сравнением результатов численного решения непараксиальных уравнений распространения света с точными решениями уравнений Максвелла в ряде задач линейной оптики.
Мы интересовались электрическим полем в окрестности геометрического фокуса. Численное моделирование проводилось в условиях, разумно соответствующих эксперименту: лазерный пучок имел радиус 1 мм, длина волны 530 нм, фокусное расстояние f=1.128 мм, числовая апертура составляла 0.9. Интегрирование [28] проводилось численно по поверхности зеркала от −5f до 5f с разрешением f/10. Расчетная область представляла собой куб со стороной 4 мкм и центром в фокусе. Разрешение вдоль каждой из осей декартовой системы координат составляло 10 нм. В ходе выполнения проекта был разработан и применен алгоритм построения трёхмерных линий сингулярности поляризации электрического поля по известным значениям декартовых компонент меняющейся в пространстве комплексной амплитуды монохроматической электромагнитной волны произвольного вида, вычислительная сложность которого значительно ниже сложности прежде опубликованных подходов к этой задаче, а точность может быть динамически адаптирована к установленному порогу допустимой ошибки.
Нами проведено описание топологии линий сингулярности поляризации электрического поля электромагнитного излучения, возникающего при отражении от параболического зеркала эллиптически поляризованных Гауссова и Лагерр-Гауссова пучков, а также двух разновидностей пучка Пуанкаре. В результате их острой (NA = 0.9) фокусировки в отражённом излучении возникают трёхмерные топологически нетривиальные структуры — узлы и зацепления линий сингулярности поляризации. Если в плоскости перетяжки распределение эллипсов поляризации поперечной компоненты электрического поля падающего на зеркало пучка имеет ось симметрии, то, в широком диапазоне характеризующих его поляризацию параметров, в отраженном излучении около фокуса зеркала всегда существует по крайней мере одна замкнутая 𝐿-линия сингулярности линейной поляризации с топологией простого кольца, около которой линии сингулярности круговой поляризации образуют (m; n)−торический узел, где числа m и n определяются параметрами падающего пучка. Этот узел всегда m-кратно сцеплен с осью, вдоль которой пучки падают на зеркало, и n-кратно сцеплен с вышеупомянутой линией сингулярности линейной поляризации, в точках которой параметр изотропии электрического поля отрицателен. При изменении степени эллиптичности Гауссова и Лагерр-Гауссова пучков и параметров, определяющих поляризацию пучка Пуанкаре, происходит трансформация находящейся вблизи фокуса части топологического каркаса электрического поля, сопровождающаяся множеством различных пересоединений и расцеплений многочисленных линий сингулярности .
Как правило, вблизи точки пространства, где ожидается пересоединение линий сингулярности поляризации, происходит их значительное искривление. Кроме того, параметр изотропии электрического поля в точках одной из них, находящихся вблизи области возможного пересоединения, отличается знаком от параметра изотропии в точках другой линии, находящихся вблизи первой. Это может ограничивать возможные пересоеденения линий сингулярности поляризации в полях высокой симметрии. Практически при всех поляризациях падающего на зеркало пучка торические узлы образуются только линиями сингулярности линейной поляризации, в точках которых параметр изотропии электрического поля преимущественно положителен. Однако для специальных состояний поляризации падающего на зеркало пучка Пуанкаре возможно существование в электрическом поле отраженного излучения не только более сложных узлов линий сингулярности циркулярной поляризации, но и завязанной в трилистниковый узел линии сингулярности линейной поляризации. В тех диапазонах значений степени эллиптичности Гауссова и Лагерр-Гауссова пучков и параметров, определяющих поляризацию пучка Пуанкаре, в которых число замкнутых линий сингулярностей циркулярной и линейной поляризаций в отражённом зеркалом излучении не меняется, значения коэффициентов зацепления между любыми линиями сингулярности поляризации различных типов остаются постоянными. Происходящие в результате изменений распределений эллипсов поляризации в плоскости перетяжки падающих на зеркало пучков пересоединения между различными классами линий сингулярности поляризации электрического поля демонстрируют сохранение суммарного коэффициента зацепления между линиями сингулярности циркулярной поляризации и линиями сингулярности линейной поляризации в этом процессе. Редкие исключения из этого правила, при которых суммарный коэффициент зацепления в результате пересоединения меняется на четное число, объясняется тем, что коэффициент зацепления для неориентированных кривых определяется с точностью до знака.
Вблизи линий сингулярности поляризации отражённого излучения существует большое число оптических лент, образуемых в результате движения по замкнутым кривым малого радиуса вектора, задающего направление и величину главной оси эллипса поляризации электрического поля. Среди них встречаются ленты с различным значением коэффициента перекручивания, в том числе ленты Мёбиуса, причем для пучков Пуанкаре топология и симметрия края этих лент совпадает с топологией и симметрией наиболее протяженной линии сингулярности циркулярной поляризации топологического каркаса из числа не вытянутых вдоль оси симметрии зеркала. При изменении радиуса контура построения оптической ленты происходит изменение её топологии в моменты пересечения им одной из линий сингулярности циркулярной поляризации. В силу симметрии пучка Пуанкаре типа «звезда», эти изменения происходят одновременно в трёх точках, а для пучка Пуанкаре типа «лимон» — несколько раз поочерёдно, ввиду отсутствия подобной симметрии. В обоих случаях с увеличением радиуса контура построения происходит пересечение линий сингулярности круговой поляризации в нечётном числе точек. В результате меняется чётность коэффициента зацепления контура с линиями сингулярности круговой поляризации и ориентируемость наблюдаемой ленты. |
| Результаты этапа: Найдено аналитическое выражение, определяющее число перекручиваний ленты эллипсов поляризации, построенной на малом контуре в форме окружности, в центре которого излучение имеет круговую поляризацию, плоскость которой совпадает с плоскостью самого контура. Найдены необходимые и достаточные условия формирования лент с однократным и трехкратным полуперекручиванием. Определен набор из пяти параметров электромагнитного поля в точке сингулярности круговой поляризации, которые однозначно определяют значение коэффициента перекручивания, а для самих параметров найдены бескоординатные выражения, не привязанные к конкретной системе координат.
На основе численного решения нелинейной системы уравнений для трех декартовых компонент напряженности электрического поля, показано, что при распространении плоской линейно поляризованной гармонической волны, нормально падающей на плоский нелинейный метаматериал, базовая ячейка которого состоит из двух прямоугольных серебряных пластин с характерными размерами в сотни нанометров, в среде существует линия сингулярности круговой поляризации электромагнитного поля, содержащая две области, где ее части подходят друг к другу на столь малое расстояние, что в численном эксперименте это может рассматриваться как самопересечение. Обнаружено, что оптические ленты поляризации, построенные вокруг обычных точек этих линий, имеют топологию лент Мёбиуса, а ленты, построенные в области возможного самопересечения C-линий и охватывающие два ее сегмента, являются ориентируемыми поверхностями.
Аналитически и численно исследована статистика встречаемости в случайном изотропном электромагнитном поле оптических лент Мебиуса с различной топологией, образованных осями эллипса поляризации при их отслеживании вдоль замкнутого кругового контура малых размеров, через центр которого проходит уединенная линия сингулярности круговой поляризации (C-линии). Найдены аналитические выражения для совокупной плотности распределения дифференциальных характеристик случайного изотропного электромагнитного поля, позволяющие определить топологические свойства картин эллипсов поляризации и векторов нормалей к ним, а также возникающих в пространстве оптических лент, построенных вокруг C-линий.
|
