|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ИНХС РАН |
||
Краевые задачи и задачи граничного управления для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типаНИР
- Руководитель НИР: Холомеева А.А.
- Участники НИР: Лихоманенко Т.Н., Нефедов П.В.
- Подразделение: Кафедра функционального анализа и его применений
- Срок исполнения: 19 февраля 2014 г. - 31 декабря 2015 г.
- Номер договора (контракта, соглашения): 14-01-31132-мол_а
- Номер ЦИТИС: 01201451009
- Тип: Фундаментальная
- Приоритетное направление научных исследований: Дифференциальные уравнения и математическая физика
- ПН России: Информационно-телекоммуникационные системы
- Направление технологического прорыва России: Стратегические информационные технологии
-
Рубрики ГРНТИ:
- 27.31.15 Общая теория дифференциальных уравнений и систем уравнений с частными производными
- 27.37.17 Математическая теория управления. Оптимальное управление
-
Ключевые слова:
уравнение смешанного типа, задача геллерстедта, биортогональный ряд, задача франкля, волновое уравнение
-
Описание:
Проект посвящен изучению новых задач теории граничного управления для гиперболических уравнений и теории граничных задач для уравнений смешанного типа. Будут впервые изучены задачи граничного управления колебаниями распределенными системами в случае нестационарного граничного управления или нестационарных граничных условий (условий типа торможения). Будут исследованы соответствующие начально-краевые задачи для гиперболического уравнения с граничными условиями, содержащими косую производную. Интерес представляет вопрос разрешимости этих задач в смысле обобщенного решения из пространства Соболева. Далее планируется исследование вопроса об оптимизации найденных управлений. Будет исследован трехмерный аналог известной задачи Гелллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, в частности вопрос разрешимости этой задачи. Будут изучены свойства неклассических задач для уравнения Лапласа, моделирующих адгезионные свойства материалов. Будут изучены модифицированные аналоги задачи Франкля для уравнения эллиптико-гиперболического типа. Планируется построить решение задачи в виде биортогональных рядов, изучить их свойства сходимости.
-
Основные результаты:
В ходе выполнения проекта было продолжено исследование аналогов известных задач для уравнений смешанного типа, в частности был изучен трехмерный аналог задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Особое внимание уделялось доказательству корректности поставленной задачи. Впервые были изучены задачи граничного управления колебаниями распределенными системами в случае нестационарного граничного управления или нестационарных граничных условий (условий типа торможения). Были исследованы соответствующие начально-краевые задачи для гиперболического уравнения с граничными условиями, содержащими наклонную производную. Был изучен вопрос разрешимости этих задач в смысле обобщенного решения из пространства Соболева. Была проведена оптимизация найденных управлений.
- Добавил в систему: Холомеева Анна Андреевна
Соисполнители НИР
| МГУ имени М.В.Ломоносова | Координатор |
Источник финансирования НИР
| грант РФФИ |
Этапы НИР
| # | Сроки | Название |
| 1 | 19 февраля 2014 г.-31 декабря 2014 г. | Краевые задачи и задачи граничного управления для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа |
| Результаты этапа: Были проведены исследования классических задач для параболо-гиперболического уравнения Лаврентьева-Бицадзе: задачи Трикоми, Франкля, Геллерстедта. Особенность постановок задач в том, что при рассмотрении трехмерных облас тей возникают сложности с отысканием корректных постановок. Основной метод, используемый при исследованиях -- спектральный метод, разработанный Е.И. Моисеевым, позволяет представить решения каждой задачи явно в виде функциональных рядов, исследуется единственность и регулярность построенных решений, показано, что функциональные ряды, входящие в решения построенных задач, сходятся равномерно и абсолютно. Была исследована задача граничного управления колебаниями одномерного упругого стержня. Рассмотрен случай управления силой при наличии граничного условия, содержащего наклонную производную. Такое граничное условие можно трактовать как условие торможения, связанного с вязкостью среды, с которую погружен конец стержня. Это условие упоминается как однро из классических граничных условий в классическом учебнике А.Н.Тихонова, А.А.Самарского "Уравнения математической физики", а в зарубежной литературе его называют damping\anti-damping condition, в последнее время задачи управления колебательными процессами с граничными условиями такого типа имеют большую актуальности в связи с моделированием бурения. В рамках проекта была исследована обобщенная разрешимость соответствующей начально-краевой задачи, решение было построено в явном аналитическом виде, что позволило далее провести оптимизацию найденного граничного управления. Начато исследование краевой задачи для уравнения смешанного типа, от классического уравнения Лаврентьева-Бицадзе отличие в геометрии области. Исследуется, какие функции могут быть собственными для этой задачи в гиперболической и параболической частях области. | ||
| 2 | 1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. | Краевые задачи и задачи граничного управления для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа |
| Результаты этапа: В виде двойных рядов найдено регулярное (классическое) решение аналога задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в трехмерной области. Получены равномерные и абсолютные оценки на коэффициенты биортогонального разложения функции по тригонометрической системе синусов. При изучении поставленных задач был использован спектральный метод, позволяющий в явном виде получить аналитическое решение задачи в виде тригонометрических рядов, что позволило качественно изучить свойства полученных решений. В настоящее время известно лишь небольшое количество корректных постановок для задач смешанного типа в трехмерной области, поэтому результаты работы представляют значительный как теоретический, так и практический интерес. Было продолжено изучение задач граничного управления колебательными процессами при наличии наклонной производной в граничном условии. По итогам работы был сделан доклад на международной конференции. | ||
Прикрепленные к НИР результаты
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".