| Результаты этапа: Было продолжено изучение различных обратных задач для операторов Штурма--Лиувилля. Получены результаты о глобальной устойчивости, которые также были применены к задачам восстановления по конечному набору спектральных данных. Начато изучение спектральных свойств оператора Дирака с негладким потенциалом. Получены результаты об асимптотическом поведении фундаментальной системы решений, которые влекут результаты об асимптотическом поведении собственных значений. На основании этих результатов доказана равносходимость разложений по системе собственных функций с невозмущенным оператором Дирака. Исследованы пространства мультипликаторов для пространств бесселевых потенциалов. При естественных ограничениях на гельдеровские показатели и показатели гладкости получено точное описание пространства мультипликаторов в терминах шкалы соболевских пространств. Определены точные верхняя и нижняя грани первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля на классе потенциалов, нормированных интегральным условием. Краевые условия разделены на классы, для каждого их которых получены формулы для экстремальных значений. Изучены спектральные свойства задачи Штурма-Лиувилля с весом, являющимся обобщенной производной функции канторовского типа. Для краевых условий Неймана и некоторого класса краевых условий третьего типа доказано свойство спектральной периодичности собственных значений. Доказано, что периодическая функция, участвующая в главном члене асимптотики собственных значений не является постоянной.
Улучшена оценка оценка на поворот спектральных подпространств самосопряженного оператора под действием возмущений общего вида. Доказательство этой оценки основывается на новой синус-тета-теореме, дающей локальную оценку на максимальный угол между возмущенным и невозмущенным спектральными подпространствами, и неравенстве треугольника для максимальных углов. Даны приложения абстрактных оценок на сдвиг спектра и поворот спектральных подпространств самосопряженного оператора к квантовой задаче нескольких частиц. Проведено исследование свойств усеченной матрицы рассеяния, отвечающей за резонансы на определенном нефизическом листе энергии в задаче рассеяния с двухчастичными каналами. Показано, что канальные компоненты собственного вектора усеченной матрицы рассеяния, отвечающего нулевому собственному числу при резонансном значении энергии, имеют смысл амплитуд развала соответствующего резонансного состояния. |
| Результаты этапа: 1. Были проведены исследования оператора Дирака на конечном отрезке с матрицей, элементы которой являются суммируемыми на $[0,1]$ функциями. Получены асимптотические формулы для асимптотических решений резольвентного уравнения Дирака в критической полосе (ранее эти формулы были известны только в секторах комплексной плоскости, не содержащих критических направлений). Получены точные асимптотические формулы для собственных значений регулярного оператора Дирака для потенциала $Q\in L_p[0,1]$ в зависимости от $p\in [1, \infty].$ В случае любого $p\geqslant 1$ доказана базисность Рисса из подпространств. 2. Продолжено изучение обратной задачи для оператора Штурма--Лиувилля $-y’’+q(x)$ на конечном отрезке с потенциалом $q$ из шкал соболевских пространств $W^\theta_2[0,1]$ при $\theta \geqslant -1$. Построено приближение потенциала $q$ потенциалами $q_N$, которые в свою очередь восстанавливаются по первым $N$ членам двух последовательноcтей спектральных данных, причем эти данные вычислены с точностью $\varepsilon$ (аппроксимация $q_N$ вычисляется конструктивно после решения простой системы линейных дифференциальных уравнений). Получены оценки на точность построенных приближений. 3. Были продолжены исследования в области интерполяции нелинейных отображений банаховых пространств. Удалось найти найти новые общие теоремы для комплексной интерполяции нелинейных отображений заданных локально на шарах в интерполируемых пространствах.
4. В 2014 году К.А.Мирзоев и А. А.Шкаликов изучили задачу о возможности корректного определения оператора, определенного произвольным формально симметрическим дифференциальным выражением любого порядка $n$, записанным в дивергентной форме, коэффициенты которого являются распределениями конечного порядка. Установлены теоремы о об индексах дефекта таких операторов, описаниях самосопряженных расширений и о возможности аппроксимации таких операторов в смысле равномерной резольвентной сходимости классическими операторами с гладкими коэффициентами. 5. Задача об описании пространств мультипликаторов между соболевскими пространствами с негативными индексами гладкости имеет важные приложения для изучения операторов с коэффициентами-распределениями. Пусть $H^{\alpha, p}(\mathbb R^{n})$ -- пространство Соболева с индексом гладкости $\alpha$ и индексом Гельдера $p$. Задача состоит в описании пространства $M(\alpha, p; \beta, q)$, которое состоит из обобщенных функций $f$ таких. что оператор умножения $A\phi = f\phi$, корректно определенный на тест-функциях, допускает замыкание, как ограниченный оператор из пространства $H^{\alpha, p}(\mathbb R^{n})$ в пространство $H^{\beta, q}(\mathbb R^{n})$. Найдены все значения индексов $\alpha, \beta, p, q$ при которых соответствующее пространство мультипликаторов допускает полное описание в терминах пространств бесселевых потенциалов.
6. Были продолжены работы по изучению спектральных свойств оператора Штурма-Лиувилля и дифференциальных операторов высокого порядка с сингулярными весами. Основное внимание было уделено весам, порожденным самоподобными функциями, весам с сильной сингулярностью и неаффинно-самоподобным весам. Как известно, в случае самоподобных весов в характеристике спектра оператора Штурма-Лиувилля появляется периодическая функция. Очень важный вопрос для приложений заключается в получении условий, гарантирующих, что указанная периодическая функция не постоянная. Получено описание класса самоподобных весов, для которых исследуемая функция не вырождается в константу. Получены спектральные асимптотики и для неаффинно-самоподобных весов. |
