ИСТИНА

Развитие теории одномерных и многомерных квазилинейных систем законов сохранения, которые могут иметь ``неклассические'' обобщенные решения с дельта-образными сингулярностями. Теория неклассических решений систем законов сохранения -- это актуальная тематика, которая интенсивно развивается последние 17 лет и находит все большее число приложений. Использование упомянутой теории сильно сингулярных решений для построения и исследования математических моделей гранулированных сред, газовых потоков с наночастицами и запыленных газов. Целью проекта является объяснение некоторых наблюдаемых физических явлений в этих средах, в частности, процессов концентрации вблизи особенностей и кластеризация. Исследование процессов распространения и взаимодействия многомерных $\delta$- и $\delta^{\prime}$-ударных волн и процессы переноса и концентрации, связанные с ними. Исследование других систем уравнений, допускающие сильно-сингулярные решения, в частности, системы нелинейной хроматографии.

В ходе выполнения проекта развиты теория сильно сингулярных решений, разработаны новые методы асимптотического представления решений и описания образований особенностей, новые методы стохастической и вязкостной регуляризации, новые методы исследования движения и устойчивости фронтов, новые методы исследования условий образования особенностей решения. С помощью этих результатов изучены процессы образования и переноса структур и особенностей решений таких важных систем уравнений с частными производными, моделирующих сплошные среды различной природы, как 1. Система газовой динамики без давления, состоящая из законов сохранения массы, импульса и энергии, моделирующая запыленные среды. допускающая сильно-сингулярные решения типа дельта-ударных волн, которые связаны с процессами переноса в этих средах. Для нее а) Выведены балансовые соотношения, которые описывают перенос массы, импульса и энергии из области вне фронта дельта-ударной волны на ее фронт, описано распространение дельта-ударной волны; б) Получено асимптотическое представление решений задачи Коши, при помощи которого описан процесс формирования особенности гладкого решения; в) Реализованы различные подходы к исследованию нелинейной динамической устойчивости дельта-ударной волны в смысле локального по времени существования и единственности решения соответствующей нелинейной задачи со свободной границей. 2. Система уравнений идеальной гранулированной гидродинамики. Для нее а) Показано, что решения гиперболической системы уравнений идеальной гранулированной гидродинамики в общем случае теряют исходную гладкость для любой пространственной размерности. Это явление ассоциируется с явлением кластеризации. б) Построено широкое семейство точных решений пространстве нескольких переменных. В зависимости от начальных условий эти решения сохраняют гладкость в течение бесконечного времени или у них образуется особенность за конечное время. в) введено определение сильно-сингулярного решения и получены соответствующие условия Ренкина-Гюгонио. Построено решение задачи Коши, связанное с распространением дельта-ударной волны. 3. Система уравнений нелинейной хроматографии и ее обобщение, новый тип систем законов сохранения (типа Темпля). Для нее а) Дано определение обобщенного решения с дельта-образными сингулярностями и выведены условия Ренкина-Гюгонио, решена задача Римана, допускающая решения типа дельта-ударных волн; б) получено асимптотическое представление гладкого решения и описан процесс возникновения особенностей. 4. Полная система уравнений, описывающих сжимаемую локализованную жидкокристаллическую среду в трехмерном пространстве. Показано, что классическое решение может терять гладкость со временем, и повышение температуры способствует этому явлению. 5. Модельная система двумерной динамики атмосферы. Для нее а) исследованы возможные квазистационарные структуры, которые могут переноситься основным потоком; б) исследовано влияние внешнего трения на поведение вихревой структуры; в) изучена устойчивость стационарной вихревой структуры по отношению к возмущениям, нарушающим симметрию. 6. Система уравнений идеальной магнитной гидродинамики. Для нее доказана корректность линеаризованной задачи со свободной границей плазма-вакуум, а также различных сопряженных задач.