| 1 |
2 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. |
Задачи гармонического и функционального анализа и их связь с теорией чисел и комбинаторикой 2014 |
| Результаты этапа: I. А. Улучшены оценки снизу на рост норм в среднем последовательности коэффициентов Фурье экспонент от нелинейного преобразования тора на себя.
Б. Найдены нетривиальные оценки снизу нормы в среднем преобразования Фурье от характеристической функции подмножества поля простого порядка.
В. Исследована возможность нетривиального представления арифметических прогрессий в поле простого порядка в виде произведения двух множеств.
Г. Исследована возможность больших уклонений степеней натуральных чисел до ближайшего простого.
II. А. Изучены асимптотические свойства чебышёвских сплайнов с фиксированным числом узлов: найдена асимптотика узлов, C-нормы, доказано, что нормированный сплайн асимптотически равен многочлену Чебышёва.
Б. Получено следствие для поперечников классов Соболева $W^r$.
III. Изучено строение множеств с экстремальным отношением площади к объёму и получены оценки объёма для множеств при дополнительных предположениях регулярности.
IV. Получена нижняя оценка на сумму и произведение подмножеств произвольного конечного поля и выведена оценка, подобная неравенству Коши-Давенпорта, для линейных размерностей замыканий множеств.
V. Получены оценки для произведения интервалов и множеств с малым мультипликативным удвоением в кольце вычетов по произвольному модулю.
VI. Изучены свойства дифференциальных операторов, определяющих производные в силу заданной гладкой чебышёвской системы.
VII. А. Получены оценки на длину шага дискретизации динамической системы с переключениями в терминах неравенства Маркова-Бернштейна для систем экспонент на полупрямой.
Б. Разработан алгоритм вычисления показателя Ляпунова системы и построения кусочно-линейной функции Ляпунова.
В. Получены формулы для показателей гладкости решений нестационарных масштабирующих уравнений.
VIII. А. Доказана теорема о существовании инвариантного подпространства несжимающей ограниченной полугруппы аффинных операторов (совместно с В.Ю.Протасовым).
Б. Исследована структура полугрупп вещественных конечномерных линейных операторов с постоянным спектральным радиусом (совместно с В.Ю.Протасовым).
В целом проведенные в 2014 году исследования по Проекту представляют собой решение ряда важных задач гармонического и функционального анализа, связанных с вопросами теории чисел и комбинаторики.
|
| 2 |
1 января 2015 г.-1 декабря 2015 г. |
Задачи гармонического и функционального анализа и их связь с теорией чисел и комбинаторикой 2015 |
| Результаты этапа: Выделим основные результаты, полученные коллективом по Проекту на этапе 2015 года.
1 Исследована устойчивость восстановления функций, гладких внутри периода, по заданному количеству их коэффициентов Фурье.
2 Найдены точные показатели асимптотического роста бинарной функции разбиения Эйлера для произвольных множеств цифр. Получены условия сходимости нестационарных уточняющих алгоритмов. Построены примеры линейных систем с переключениями, траектории которых растут медленнее заданной функции.
3 Исследованы некоторые экстремальные свойства гладких чебышёвских обобщённых полиномов и построенных по ним «обобщённых» производных.
4 Получены оценки константы Чигера $l_p$-шаров в пространствах большой размерности.
5 Изучена структура ограниченных полугрупп аффинных операторов. Получены необходимые и достаточные условия сходимости цепей Маркова с многомерным временем в терминах k-полупримитивных семейств матриц.
6 Исследованы суммы модулей блоков рядов Фурье функций ограниченной вариации по системе Уолша в нумерации Пэли.
7 Получены оценки на число элементов полугрупп натуральных чисел в коротких интервалах.
8 Получены вспомогательные результаты для оценок на суммы-произведения множеств.
В целом проведенные по Проекту исследования в 2015 году представляют собой решение ряда важных задач гармонического и функционального анализа, связанных с вопросами теории чисел и комбинаторики. |
| 3 |
1 января 2016 г.-1 декабря 2016 г. |
Задачи гармонического и функционального анализа и их связь с теорией чисел и комбинаторикой 2016 |
| Результаты этапа: 1. Улучшены оценки снизу на рост норм в среднем последовательности коэффициентов Фурье экспонент от нелинейного преобразования тора на себя.
2. Изучены асимптотические свойства чебышёвских сплайнов с фиксированным числом узлов, в частности, найдены асимптотика узлов и C-нормы, доказано, что нормированный сплайн асимптотически равен многочлену Чебышёва, получены следствия для асимптотики колмогоровских поперечников классов Соболева.
3. Доказано, что декартово произведение октаэдров плохо приближается пространствами половинной размерности в смешанной (2,1)-норме.
4. Получены оценки распределения подмножеств натуральных чисел, замкнутых относительно операции умножения на коротких интервалах.
5. А) Получены оценки на длину шага дискретизации динамической системы с переключениями в терминах неравенства Маркова-Бернштейна для систем экспонент на полупрямой. Б) Построена теория линейных динамических систем на графах, разработан алгоритм вычисления показателя Ляпунова и получения кусочно-линейной функции Ляпунова таких систем. В) Используя теорию масштабирующих функциональных уравнений, найдены точные показатели асимптотического роста бинарной функции разбиения Эйлера для произвольных множеств цифр.
6. А) Доказана теорема о существовании инвариантного подпространства для несжимающей ограниченной полугруппы аффинных операторов. Б) Исследована структура полугрупп вещественных конечномерных линейных операторов с постоянным спектральным радиусом. В) Получены необходимые и достаточные условия сходимости цепей Маркова с многомерным временем в терминах “k-полупримитивных” семейств матриц. Г) Построен канонический изоморфизм, связывающий одномерные и многомерные решения уравнений самоподобия.
7. Исследованы некоторые свойства гладких чебышёвских обобщённых полиномов и построенных по ним «обобщённо-полиномиальных» сплайнов. |
