ИСТИНА

Для множества конечной коразмерности в пространстве гамильтоновых систем с кусочно-непрерывной правой частью доказаны теоремы о существовании странного седлового аттрактора. В ситуации общего положения вычислена энтропия и хаусдорфова размерность соответствующего неблуждающего множества. Изучена проблема существования равномерного глобального аттрактора для семейств динамических процессов, действующих в метрическом пространстве и зависящих от временного символа, который принадлежит некоторому другому метрическому пространству. Такой аттрактор является равномерным по символу, а также по выбору начального момента времени. Доказано, что глобальный аттрактор существует, если семейство процессов является вполне диссипативным. При этом не требуется каких-либо условий непрерывности процессов. Если же процессы, образующие семейство, удовлетворяют некоторому дополнительному (весьма слабому) условию асимптотической замкнутости, то получено описание структуры аттрактора в терминах сечений ядер процессов семейства. Рассмотрен ряд приложений к сложным неавтономным нелинейным волновым уравнениям. Разработан метод построения полиэдральной функции Ляпунова для линейной динамической системы с переключениями. Получены оценки на длину шага дискретизации, сохраняющей устойчивость системы, в терминах неравенства Маркова-Бернштейна для систем экспонент на полупрямой. Исследованы полугруппы линейных операторов постоянного спектрального радиуса, в частности – линейные системы с одинаковым ростом всех траекторий. Получены условия маргинальной неустойчивости дискретной системы. Разработан спектральный симплекс-метод для максимизации и минимизации спектрального радиуса семейств неотрицательных матриц. Рассмотрены специальные функционалы, характеризующие кусочно-полиномиальную аппроксимацию функций. Установлена их эквивалентность с функционалом наилучшей кусочно-полиномиальной аппроксимации в различных интегральных метриках.

Для множества конечной коразмерности в пространстве гамильтоновых систем с кусочно-непрерывной правой частью доказаны теоремы о существовании странного седлового аттрактора. Это принципиально новое явление, характеризующее ситуацию общего положения для синтеза оптимальных траекторий произвольных задач с многомерным управлением. В ситуации общего положения вычислена энтропия и хаусдорфова размерность соответствующего неблуждающего множества. Принцип максимума Понтрягина сводит задачи оптимального управления к изучению гамильтоновых систем ОДУ с разрывной правой частью. Определяющую роль при построении оптимального синтеза играют особые траектории -- траектории, идущие вдоль поверхности N разрыва правой части гамильтоновой системы ОДУ. Доказано, что совокупность особых траекторий образует гамильтонов поток на некотором симплектическом подмногообразии в N. В том числе с использованием полученного свойства гамильтоновости особого потока доказано, что поток особых траекторий в задаче управления намагниченным волчком Лагранжа в переменном магнитном поле является вполне интегрируемым по Лиувиллю и включается в поток некоторой суперинтегрируемой гладкой гамильтоной системы в объемлющем пространстве. Исследовались гамильтоновы системы, аффинные по многомерному управлению, меняющемуся в некотором многограннике U. Достаточно часто ключевую роль при изучении глобального поведения решений таких систем играют особые траектории и геометрия их окрестностей. Доказана теорема о структуре выхода оптимальных траекторий на особую траекторию первого порядка в ее окрестности (и схода с нее) для систем с голономным управлением. Доказано, что лагранжевa поверхность в окрестности особой траектории первого порядка специальным образом соткана из траекторий системы, особых по граням многогранника U. Предложен простой метод явного отыскания особых траекторий первого порядка по граням многогранника U. В результате описывается полная картина оптимального синтеза, полученная последовательным сопряжением особых экстремалей первого порядка. Вполне диссипативные динамические процессы и их равномерные аттракторы. В работе исследованы равномерные глобальные аттракторы семейств процессов, действующих в метрическом пространстве и зависящих от параметра, который принадлежит некоторому другому метрическому пространству. Такой параметр принято называть символом процесса. Изучаемый глобальный аттрактор является равномерным как по символу, так и по выбору начального момента времени. Существование такого аттрактора было доказано для вполне диссипативных процессов без каких либо предположений непрерывности процессов. Если процесс удовлетворяет некоторому дополнительному (но весьма слабому) условию типа непрерывности, то было сделано описание структуры глобального аттрактора. Понятие динамического процесса особенно полезно при описании поведения решений неавтономных дифференциальных уравнений в нормированных пространствах. При этом предполагается, что соответствующая задача Коши является корректной для любого начального условия, принадлежащего рассматриваемому нормированному пространству. Отметим, что автономные уравнения порождают динамические полугруппы, которые являются частными случаями динамических процессов. Более общее понятие динамического процесса позволяет описывать эволюцию открытых моделей, в которых присутствуют внешние воздействия и возбуждения, зависящие явно от времени. При изучении конкретных дифференциальных уравнений, которые возникают в физических моделях при описании эволюционных явлений, часто обнаруживается тот или иной механизм диссипации. Теория диссипативных динамических систем пытается описывать долговременную эволюцию таких моделей в терминах “малых” (компактных) множеств фазового пространства, которые могут притягивать к себе (при времени, стремящемся к бесконечности) все траектории динамической системы, которые выходят из “больших” ограниченных (некомпактных) областей начальных данных в этом фазовом пространстве. В частности, большой интерес представляет задача выделения наименьшего такого притягивающего множества, которое содержит в себе всю асимптотическую динамику изучаемой эволюционной модели. Такие минимальные притягивающие множества принято называть глобальными аттракторами. В проделанной работе, аналогично совершенному ранее исследованию для общих динамических полугрупп и автономных уравнений, главной целью являлся новый взгляд на теорию глобальных аттракторов для семейств диссипативных динамических процессов и неавтономных уравнений, в котором основные объекты теории (например, аттрактор) определяются исключительно в терминах свойства притяжения, без привлечения каких либо понятий и свойств непрерывности процессов. При этом используется новое понятие вполне диссипативного процесса и семейства процессов, которое объединяет известные и традиционно используемые понятия асимптотической компактности и диссипативности для динамических полугрупп и процессов. Доказаны теоремы о существовании равномерных глобальных аттракторов семейств вполне диссипативных динамических процессов. Рассмотрены весьма содержательные примеры нелинейных неавтономных уравнений с частными производными, для которых с помощью такого подхода можно построить глобальный аттрактор. При этом условия для зависящих от времени членов и коэффициентов уравнений удается весьма существенно ослабить, что приводит к описанию предельной асимптотики моделей, для которых её раньше не удавалось построить. Разработан метод построения полиэдральной функции Ляпунова для линейной динамической системы с переключениями. Метод позволяет приближенно вычислять показатель Ляпунова системы, применим в достаточно больших размерностях (до 20) и дает лучшие результаты, чем классический метод с квадратичной функцией Ляпунова. Метод основан на доказанных в той же работе теоремах о существовании инвариантной нормы и антинормы неприводимой системы. Получены оценки на длину шага дискретизации, сохраняющей устойчивость системы, в терминах неравенства Маркова-Бернштейна для экспонент на полупрямой. Данные оценки появились в литературе впервые и дают еще один способ приближенного вычисления показателя Ляпунова. Исследованы полугруппы линейных операторов постоянного спектрального радиуса, в частности – линейные системы с одинаковой асимптотикой роста всех траекторий. Наши результаты в этом направлении усиливают полученные ранее результаты Раджави, Омладича и Попова. Получены условия маргинальной неустойчивости линейной динамической системы с переключениями. При этом были опровергнуты две гипотезы о маргинальной неустойчивости систем общего положения, сформулированные ранее Читуром, Масоном и Сигалотти. Построен пример дискретной системы из двух матриц, у которой наибольший рост траекторий медленней линейного. Ранее подобные примеры были известны в литературе только для систем с бесконечным числом матриц (Гуглиелми, Зеннаро, 2001). Разработан спектральный симплекс-метод для максимизации и минимизации спектрального радиуса семейств неотрицательных матриц. Этот метод усиливает полученные ранее результаты Блонделя, Нестерова и Протасова. Рассмотрены специальные функционалы, характеризующие адаптивную кусочно-полиномиальную аппроксимацию функций. В задаче адаптивной аппроксимации для функции f(t), заданной на промежутке [0,1], ищется кусочно-полиномиальная функция s(t) с нефиксированными узлами, для которой разность (f-s) минимальна в некоторой интегральной метрике. Эта задача имеет важное значение, в частности, для обработки различных вычислительных данных. Точное её решение для произвольной функции f найти достаточно сложно, и поэтому возникает задача о нахождении приближённого решения. Для выбранного метода кусочно-полиномиальной аппроксимации построены специальные функционалы, позволяющие оценивать его погрешность.