ИСТИНА

Построение новых примеров алгебр, у которых PI-экспонента увеличивается на 1 при присоединении внешней единицы. Доказательство существования и нецелочисленности PI-экспоненты для некоторых конечномерных супеалгебр Ли. Построение примеров конечномерных простых алгебр с дробной PI-экспонентой. Предполагалось решить вопрос о существовании адамаровых разложений в алгебрах $M_4\oplus 8M_1$ и $5M_2.$ Построение алгоритмов для определения того, содержит ли заданная подалгебра свободной алгебры шрайерового многообразия линейных алгебр некоторый примитивный элемент, или нет. Распознавание примитивных элементов свободных алгебр Акивиса. Получение оценок функции длины квази-коммутирующих матричных семейств. Исследование функции длины неассоциативных алгебр. Предполагалось доказать существование 4-хмерного семейства ортогональных пар в sl(6). Характеризация пары матриц А и С, для которых С-детерминантный образ А вещественен или лежит на прямой, параллельной вещественной оси.

Построен пример четырехмерной простой алгебры с единицей, у которой PI-экспонента существует и строго меньше размерности. Для одного известного ранее семейства алгебр доказано, что присоединение единицы приводит к возрастанию PI-экспоненты ровно на 1. Как следствие, доказано, что PI-экспоненты алгебр с единицей могут принимать любые значения из отрезка [2;3]. Получена верхняя оценка для градуированной PI-экспоненты серии b(t) конечномерных простых супералгебр Ли, которая показывает, что как обычная, так и градуированная PI-экспоненты у алгебр этой серии строго меньше размерности. Доказана асимптотическая монотонность последовательности коразмерностей ассоциативных алгебр Ли, откуда следует частичное подтверждение гипотезы Регева. Построен первый пример алгебры с экспоненциально ограниченным ростом коразмерностей, для которой PI-экспонента не существует. Эта проблема оставалась открытым вопросом более 25 лет. Получено описание минимальных ассоциативных многообразий полиномиального роста с малым показателем степени полинома. Доказано, что если адамарова алгебра, которая не является простой, допускает неприводимый характер степени $m>1,$ то ее размерность не меньше $m^2+2m.$ Доказано, что если адамарова алгебра, которая не является простой, допускает неприводимый характер степени 4, то ее размерность не меньше 32. Построен алгоритм, определяющий, содержит ли данная конечно порожденная подалгебра свободной алгебры А шрайерового многообразия линейных алгебр с одной бинарной операцией хотя бы один примитивный элемент алгебры А. Для свободных неассоциативных алгебр, алгебр Ли, свободных (анти)коммутативных неассоциативных алгебр конечного ранга над полем положительной характеристики вычислено число примитивных элементов для небольших степеней. Получен критерий примитивности элементов свободных алгебр Акивиса. Описаны конечномерные ассоциативные алгебры, простые по отношению к действию алгебр Тафта, доказан аналог гипотезы Амицура для полиномиальных H-тождеств таких алгебр. Доказан аналог гипотезы Амицура для полиномиальных H-тождеств конечномерных алгебр Ли с действием полупростых алгебр Хопфа, для градуированных тождеств конечномерных ассоциативных алгебр и алгебр Ли, градуированных произвольными группами, для дифференциальных тождеств конечномерных ассоциативных алгебр с действием произвольных алгебр Ли дифференцированиями, для дифференциальных тождеств конечномерных алгебр Ли с действием конечномерных полупростых алгебр Ли дифференцированиями, для G-тождеств конечномерных алгебр Ли с рациональным действием редуктивных аффинных алгебраических групп G автоморфизмами и антиавтоморфизмами. Для квази-коммутирующих семейств матриц, относящихся к следующим классам: I. коммутативные, II. множество, любые два элемента которого квази-коммутируют, содержащее некоммутирующие элементы, все попарные произведения различных элементов которого нильпотентны, полностью решен вопрос о возможных значениях функции длины таких множеств. Для квази-коммутирующих семейств, не принадлежащих классам I и II, и состоящих из двух элементов, получены достижимые верхняя и нижняя оценки длины как функции от порядка матриц, степеней корней из единицы, возникающих как коэффициенты квази-коммутирования, и кратностей 0 как корня характеристических многочленов попарных произведений элементов семейства. Полученные оценки являются линейными функциями от порядка матриц и улучшают известные ранее оценки длины матричных множеств данной структуры. Доказано, что существует 4-хмерное семейство обобщенно-адамаровых и комплексно-адамаровых матриц порядка 6. Доказано, что если А и С – нескалярные матрицы, причем С – эрмитова, то С-численный образ А вещественен тогда и только тогда, когда или А эрмитова, или tr(С)=0 и при этом мнимая часть А является ненулевой скалярной матрицей. Доказано, что если А и С – нескалярные матрицы с епересекающимися спектрами, причем С – эрмитова, то С-детерминантный образ А вещественен тогда и только тогда, когда или А эрмитова, или собственные значения А и С лежат на одной окружности или прямой, причем произведение n! попарных разностей собственных значений А и С вещественно. Доказано, что если A и C – nxn-матрицы и С-детерминантный образ А содержит как минимум две различные сигма-точки (произведения всех n! попарных разностей собственных значений А и С), то существует такое комплексное число a, что выполнено одно из следующих условий: (a) A?aЕ и C ?aЕ – две эрмитовы матрицы; (b) A и C- нормальные матрицы, собственные значения которых лежат на одной окружности с центром в точке a и сумма аргументов попарных разностей всех различных собственных значений А и С сравнима с 0 по модулю числа пи; (c) a – общее собственное число А и С, причем оно является собственным числом блочной матрицы с блоками A и C кратности n, а для всех остальных собственных значений выполнено условие на аргументы из предыдущего пункта.