Максимальные действия торов и комбинаторика выпуклых многогранниковНИР

Источник финансирования НИР

грант Президента РФ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2014 г.-30 ноября 2014 г. Максимальные действия торов и теория матроидов, алгебраические и геометрические операции на кольцах многогранников
Результаты этапа: 1) Дан критерий того, что число Бухштабера многогранника, двойственного к циклическому, равно двум. 2) Построен обобщённый G-полином деформации умножения в градуированном кольце. 3) Построен оператор на кольце выпуклых многогранников, отвечающий геометрической реализации К.Ли cd-индекса 4) Доказана топологическая инвариантность биградуированных чисел Бетти момент-угол многообразий, соответствующих широкому классу выпуклых простых многогранников. 5) Доказано, что кольцо Стенли--Райснера простого многогранника минимально неголодовское тогда и только тогда, когда момент-угол многообразие топологически эквивалентно связной сумме произведений сфер в широком классе нефлаговых простых многогранников. 6) Вычислены все биградуированные числа Бетти простых многогранников, являющихся срезками произвольного числа вершин произведений симплексов любых размерностей; частными случаями являются срезки вершин кубов и симплексов произвольных размерностей.
2 1 января 2015 г.-30 ноября 2015 г. Проблема Бухштабера, биградуированные числа Бетти и неравенства на флаговые векторы
Результаты этапа: В 2015 году в рамках основной задачи проекта (изучение комбинаторных инвариантов простых многогранников, возникающих в торической топологии, и при помощи этих инвариантов – комбинаторики многогранников) исследовались актуальные в современной математике, квантовой физике, квантовой химии и нанотехнологиях объекты: фуллерены (Нобелевская премия 1996 по химии) и нанотрубки. Отметим связь этих исследований с основной целью проекта: продвижением в двух известных проблемах: проблеме Бухштабера и проблеме флаговых чисел выпуклых многогранников. Частью проблемы Бухштабера является выяснение взаимосвязи числа Бухштабера, равного максимальной размерности торических подгрупп, действующих свободно на момент-угол многообразии, с биградуированными числами Бетти – размерностями биградуированных компонент кольца когомологий момент-угол многообразия. В частности важной задачей является выяснение, можно ли вычислить число Бухштабера простого многогранника, зная биградуированные числа Бетти. С связи с этим возникает задача, имеющая самостоятельный интерес: изучение биградуированных чисел Бетти простых многогранников и их взаимосвязи с комбинаторикой самих многогранников. Первым нетривиальным классом простых многогранников являются трёхмерные простые многогранники. Для них число Бухштабера вычислено, однако вычисление опирается на решение проблемы четырёх красок, полученное с помощью компьютера. С другой стороны, биградуированные числа Бетти трёхмерных простых многогранников имеют геометрическую интерпретацию как числа связных компонент объединений множеств двумерных граней. В рамках проекта в 2015 году изучался класс трёхмерных простых многогранников, у которых все двумерные грани являются пятиугольниками и шестиугольниками. Такие многогранники называются (математическими) фуллеренами. Также изучались их обобщения, когда разрешаются грани с не более, чем шестью сторонами. Такие классы многогранников важны и с точки зрения более широкого взгляда на проблему флаговых чисел. Напомним, что флаговым числом называется число цепочек вложенных граней заданных размерностей. Для простых многогранников флаговые числа целиком определяются только числами цепочек из одной грани – числами граней (которые образуют f-вектор). Однако можно рассматривать более широкую заду, когда заданы ограничения не только на размерности граней, но и на из типы. На этом пути возникает p-вектор – вектор чисел k-угольных двумерных граней для всевозможных значений k. Возникает задача описания комбинаторики многогранников с заданными ограничениями на p-вектор. Мы рассматриваем фуллерены: многогранники, у которых все числа p_k, кроме p_5 и p_6 равны нулю. Обобщением является класс многогранников, у которых p_k=0 при k>6. k-поясом простого трёхмерного выпуклого многогранника называется циклическая последовательность двумерных граней с пустым общим пересечением, в которой пересекаются только последовательные грани. Класс простых трёхмерных многогранников с не более, чем шестиугольными гранями, обозначим через P6. Класс дисков, то есть разбиений круга на многоугольники, которые реализуются как области на многогранниках из P6, обозначим D6. За отчётный период развита теория k-поясов простых трёхмерных многогранников с не более чем шестиугольными гранями и получены приложения к торической топологии фуллеренов. Нанотрубкой называется трёхмерный многогранник, который получается следующим образом. Берётся факторизация разбиения двумерной плоскости на шестиугольники по вектору, сдвиг вдоль которого сохраняет разбиение. Затем вдоль двух простых непересекающихся рёберных циклов, каждый из которых разделяет цилиндр на две бесконечные части, делаются разрезы и приклеиваются диски из D6 так, чтобы получился простой многогранник. Дефектом p назовём выражение 2p3+2p4+p5, где pk -- число k-угольных граней. Для многогранника из P6 дефект равен 12. Назовём k-пояс невырожденным, если его дополнение в многограннике состоит из двух дисков с дефектом 6. Иначе назовём пояс вырожденным. Доказана теорема: I. Для любого k>2 существуют 1)конечный набор R_k дисков в D6 с дефектом меньшим 6; 2)конечный набор Q_k дисков в D6 с дефектом равным 6; 3)семейство S_k многогранников из P6, где S_k лежит в S_{k+1} и каждый многогранник в S_k\S_{k-1} состоит из последовательности r>=0 примыкающих друг к другу k-поясов шестиугольников и двух примыкающих к ним дисков из Q_k такие, что для любого многогранника P из P_6 1) любой вырожденный k-пояс примыкает к диску из R_k; 2) если P имеет невырожденный k-пояс, то он состоит из шестиугольников и P принадлежит S_k для r>0. II. Все многогранники в S_k, кроме конечного множества X_k, являются нанотрубками. III. P принадлежит S_k тогда и только тогда, когда в P есть простой рёберный цикл, ограничивающий диск из Q_k. В качестве приложения получено новое доказательство известного факта о том, что фуллерены не имеют 3- и 4-поясов, в частности являются флаговыми многогранниками. А также новое обоснование классификации 5- и 6-поясов фуллеренов. В качестве приложения получены также результаты о торической топологии фуллеренов: вычислены биградуированные числа Бетти b^{-1,6}=b^{-2,8}=0. b^{-3,10}=12+k, где k>=0. Если k>0, то фуллерен является нанотрубкой и состоит из r>0 примыкающих друг к другу 5-поясов шестиугольников, в которых шестиугольники примыкают к соседним по противоположным рёбрам, и двух додекаэдрических шапок, каждая из которых состоит из пятиугольника, окружённого пятиугольниками. Результаты соисполнителя: Вычислены биградуированные числа Бетти некоторых минимальных триангуляций вещественной и комплексной проективных плоскостей и двумерного тора, а также доказана минимальная неголодовость симплициальных комплексов, полученных из последних применением одного звездного преобразования в максимальном симплексе триангуляции. Соответствующие момент-угол комплексы имеют когомологическую длину 2, однако не гомотопически эквивалентны связным суммам произведений сфер. Это опровергает гипотезу Т.Е.Панова о характеризации момент-угол комплексов как 2-связных клеточных пространств когомологической длины 2, на которых действует компактный тор максимально высоко размерности среди всех таких клеточных пространств, в случае не-сферических симплициальных комплексов. В случае многогранных сфер и их момент-угол многообразий рассмотренные в малых размерностях примеры подтверждают гипотезу. Для указанных минимальных триангуляций найдены гомотопические типы их момент-угол комплексов, доказано, что в когомологиях момент-угол комплексов, соответствующих мультивеерам комплексной проективной плоскости, с коэффициентами в конечном поле алгебра Стинрода действует нетривиально, и, таким образом, данные момент-угол комплексы не гомотопически эквивалентны никаким букетам сфер.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".