Теоретические и прикладные проблемы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производныхНИР

Источник финансирования НИР

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. Теоретические и прикладные проблемы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных
Результаты этапа: Для анизотропной среды определена зависимость скорости движения центра кривизны фронта распространяющейся волны от радиуса кривизны аналогичная известному закону Хаббла. Полученные формулы объясняют происхождение иллюзии движущегося источника и показывают, что, закон Хаббла может быть связан не с "расширением Вселенной", а с тем, что в окрестности точки наблюдения среда является неоднородной и, возможно, анизотропной. Характеристики неоднородности и анизотропии могут быть вычислены по результатам наблюдений. Обнаружены новые характеристики линейных дифференциальных систем – так называемые мнимые показатели, описывающие внутренние свойства колеблемости и блуждаемости. Выделен довольно широкий класс линейных дифференциальных уравнений, для которых подсчет мнимых показателей не требует выхода в комплексное фазовое пространство. Получены теоремы, устанавливающие, как геометрические свойства области влияют на рост решений квазилинейных эллиптических неравенств. Доказаны теоремы сравнения, позволяющие оценивать решения квазилинейных эллиптических неравенств в зависимости от свойств первого собственного значения оператора p­-Лапласа­-Бельтрами. В качестве следствий получены нелинейные аналоги известной теоремы Фрагмена­-Линделефа. Изучено поведение собственных значений задачи Робена для оператора Лапласа в ограниченной области с гладкой границей как функций параметра в граничном условии. Установлены оценки разности между собственными значениями задач Дирихле и Робена для больших положительных значений параметра. Получены оценки производных собственных значений по параметру. Получена асимптотическая классификация решений дифференциальных уравнений третьего порядка с сингулярной нелинейностью и уравнений четвертого порядка с регулярной нелинейностью. Проведено исследование нематических жидких кристаллов. Изучено поведение неоднородных жидких кристаллов с микроструктурой, зависящей от малого параметра. Доказана теорема усреднения и проведены расчёты для визуализации процесса усреднения. При этом исследована задача усреднения для системы уравнений Эриксена-Лесли для несжимаемой среды с неоднородной плотностью. Построена усреднённая задача и доказано, что в этом случае решения соответствующих задач сильно сходятся к решению предельной задачи. Изучено поведение стационарного магнитогидродинамического пограничного слоя дилатантной жидкости, протекающей сквозь пористую преграду. Изучено поведение пограничного слоя магнитогидродинамической модели, обтекающего пластину, снабжённого быстро осциллирующим вдувом­-отсосом.
2 1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. Теоретические и прикладные проблемы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных
Результаты этапа: Получены некоторые результаты относительно устойчивости двумерного вихря в сжимаемой среде в равномерно вращающейся системе отсчета, имеющие фундаментальный интерес для моделей циркуляции атмосферы. Показано, что устойчивость зависит от отношения завихренности к параметру Кориолиса. С помощью разработанного аппарата неклассических релаксационных колебаний в сингулярно-возмущенных системах (в том числе и с запаздыванием) получены результаты теоретического исследования функционирования отдельного нейрона, сетей импульсных нейронов, анализа кардиоритмов. Для дискретных кинетических уравнений исследована природа зарождения хаотической динамики. Для смешанной задачи для одномерного уравнения Карлемана доказано, что до критических значений энергии неустойчивого стационарного решения его возмущения в фазовом пространстве стабилизируются к предельному циклу, а для больших энергий возмущение разрушается за конечное время. Для смешанной задачи для двумерного кинетического уравнения Броудера доказано, что до критических значений энергии неустойчивого стационарного решения его возмущения в фазовом пространстве притягиваются к странному аттрактору. Получены новые свойства характеристик колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений линейных дифференциальных уравнений и их систем. В двумерных спектральных задачах типа Стеклова для оператора Лапласа в области, разделённой на две части перфорированной перегородкой с периодической микроструктурой, и в области, перфорированной вдоль части границы, обнаружены новые эффекты поведения спектра дифференциальных операторов. Доказано, что феномен квадратичной зависимости скорости движения центра кривизны фронта волны от радиуса кривизны (лежащий в основе иллюзии движущегося источника) справедлив для анизотропных сред и для произвольных сред с нелинейностями. Получено описание алгебры симметрий для одномерного уравнения Больцмана. Изучена связь между структурой спектра эллиптического оператора и убыванием в среднем локальной энергии смешанной задачи для гиперболического уравнения. Получена асимптотическая классификация решений регулярных и сингулярных уравнений типа Эмдена-Фаулера 3-го и 4-го порядков.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".