![]() |
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ИНХС РАН |
||
Научно-исследовательская работа направлена на исследование орбит, инвариантов и факторов алгебраических групп преобразований с использованием методов эквивариантной симплектической геометрии и применениями к теории представлений. Она включает в себя изучение действий малой сложности редуктивных алгебраических групп, в том числе классификацию и изучение сферических подгрупп. Разрабатываются новые приложения теории сферических действий к задачам теории представлений. В рамках проекта исследуется комбинаторика действий торов и ее применение к вычислению колец Кокса аффинных многообразий и к геометрической теории инвариантов. Работа включает в себя описание компактных линейных групп, для которых факторпространство является гладким многообразием.
Для гамильтонова действия редуктивной группы на симплектическом алгебраическом многообразии с инвариантным лагранжевым подмногообразием вычислены сложность и ранг действия группы на этом подмногообразии и, в случае аффинного многообразия, доказана равноразмерность слоёв отображения моментов в коразмерности 1. Установлено соответствие между различными известными наборами инвариантов разрешимых сферических подгрупп в полупростых алгебраических группах. Изучено поведение этих инвариантов при локализациях соответствующих однородных пространств. Доказано, что все неприводимые компоненты схемы Алексеева-Бриона, параметризующей аффинные сферические многообразия с заданной полугруппой старших весов, суть аффинные пространства. Найдены все редуктивные линейные группы, действующие сферично на многообразиях флагов. Доказано, что алгебра унипотентных инвариантов кольца Кокса любого двойного многообразия флагов сложности не более 1 простой алгебраической группы свободна или её образующие связаны единственным соотношением, что позволяет эффективно разлагать на неприводимые слагаемые тензорные произведения некоторых неприводимых представлений. Для нормальных аффинных конусов над многообразиями флагов и невырожденных аффинных торических многообразий размерности >1 доказано, что группа автоморфизмов действует на множестве их гладких точек бесконечно транзитивно. Доказано, что если группа специальных автоморфизмов аффинного многообразия размерности >1 транзитивна на множестве гладких точек, то она бесконечно транзитивна на этом множестве. Доказана бесконечная транзитивность группы автоморфизмов универсального торсора для широкого класса гладких алгебраических многообразий. Описаны орбиты групп автоморфизмов аффинных торических многообразий. Исследованы действия аддитивной группы поля на торических многообразиях в терминах корней Демазюра. Явно вычислены комбинаторные данные невырожденных аффинных квадрик с действием тора сложности один. Классифицированы эквивариантные пополнения коммутативных алгебраических групп коранга один. Доказано, что каждое такое пополнение является торическим многообразием с действием аддитивной группы поля. Получен признак гибкости аффинного конуса над проективным многообразием и доказана гибкость аффинных конусов над поверхностями дель Пеццо степеней 4 и 5. Разработан эффективный алгоритм определения примыканий нильпотентных орбит тэта-групп, ассоциированных с Z- или Z/mZ-градуировками полупростых алгебр Ли. Развита теория циклических элементов в полупростых алгебрах Ли, обобщающая результаты Б. Костанта и Т. Спрингера. Классифицированы неприводимые представления классических простых компактных групп Ли с факторпространством, гомеоморфным клетке. Получено описание открытых подмножеств пространств представлений колчанов, допускающих хорошие факторы, являющиеся А2-многообразиями. Изучены вырождения представлений из указанных открытых подмножеств.
грант РФФИ |
# | Сроки | Название |
1 | 1 января 2012 г.-31 декабря 2012 г. | Алгебраические группы преобразований, эквивариантная симплектическая геометрия и теория представлений |
Результаты этапа: Для гамильтонова действия редуктивной группы на симплектическом алгебраическом многообразии с инвариантным лагранжевым подмногообразием вычислены сложность и ранг действия группы на этом подмногообразии и доказано, что образ отображения моментов совпадает с образом отображения моментов для кокасательного расслоения этого подмногообразия. Установлено соответствие между различными известными наборами инвариантов разрешимых сферических подгрупп в полупростых алгебраических группах. Классифицированы связные простые компактные неприводимые линейные группы типов A и B с факторпространством, гомеоморфным клетке. Классифицированы действия группы SL(2) на нормальных аффинных многообразиях, нормализуемые действием тора T, в терминах комбинаторного описания T-многообразий, полученного Альтманном и Хаузеном. Для нормальных конусов над многообразиями флагов и невырожденных торических многообразий доказано, что группа автоморфизмов действует на множестве гладких точек бесконечно транзитивно. Доказано, что если группа специальных автоморфизмов аффинного многообразия размерности >1 транзитивна на множестве гладких точек, то она бесконечно транзитивна на этом множестве. Найдены корни группы автоморфизмов полного рационального многообразия с действием тора сложности один и получено явное описание системы корней ее полупростой части. Классифицированы эквивариантные пополнения коммутативных линейных алгебраических группы коранга один. Доказано, что каждое такое пополнение является торическим многообразием с действием однопараметрической унипотентной группы. Получен признак гибкости аффинного конуса над проективным многообразием и доказана гибкость аффинных конусов над поверхностями дель Пеццо степеней 4 и 5. Для двойных многообразий флагов сложности не более 1 классических простых алгебраических групп найдены все В-инвариантные дивизоры и алгебра U-инвариантов. С помощью этих результатов получены разложения тензорных произведений соответствующих неприводимых представлений этих групп. Построен конечный набор нормальных форм стабильных оснащенных представлений колчанов с коммутирующими ориентированными циклами. Разработан эффективный алгоритм определения примыканий нильпотентных орбит тэта-групп, ассоциированных с Z- или Z/mZ-градуировками полупростых алгебр Ли. С помощью этого алгоритма получено полное описание примыканий нильпотентных орбит в ряде наиболее интересных случаев. Развита теория циклических элементов в полупростых алгебрах Ли. В частности, найдены все нильпотентные элементы, с которыми связаны полупростые и регулярные полупростые циклические элементы. | ||
2 | 1 января 2013 г.-31 декабря 2013 г. | Алгебраические группы преобразований, эквивариантная симплектическая геометрия и теория представлений |
Результаты этапа: Доказана гипотеза Панюшева о конечности числа орбит борелевской подгруппы на факторе аффинного сферического многообразия по коммутанту максимальной унипотентной подгруппы при некоторых ограничениях на спектр данного многообразия. Описаны открытые подмножеств пространства представления редуктивной группы, допускающих хорошие факторы, являющиеся А2-многообразиями. Найден эффективный метод нахождения всех возможных наборов сферических корней аффинных сферических многообразий с заданной полугруппой старших весов. Найдены все неприводимые вещественные представления классических простых компактных групп, пространства орбит которых являются гладкими многообразиями. Описаны орбиты группы автоморфизмов на аффинном торическом многообразии. Описана связная компонента единицы группы автоморфизмов полного рационального T-многообразия сложности 1. Описаны корни и корневые векторы невырожденных аффинных квадрик с действием тора сложности 1. Доказана гибкость универсальных торсоров над А-покрытыми многообразиями. Доказано, что гладкие рациональные полные Т-многообразия сложности 1 являются А-покрытыми. Найдены алгебры унипотентных инвариантов колец Кокса всех двойных многообразий флагов сложности 0 и 1 для классических групп. Доказано, что предел интегрируемых гамильтонианов на алгебре Ли также является интегрируемым гамильтонианом, и найдены пределы квадратичных гамильтонианов, получаемых методом сдвига инвариантов, на некоторых простых алгебрах Ли. | ||
3 | 1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. | Алгебраические группы преобразований, эквивариантная симплектическая геометрия и теория представлений |
Результаты этапа: Для гамильтонова действия редуктивной группы на симплектическом аффинном алгебраическом многообразии с инвариантным лагранжевым подмногообразием доказана равноразмерность слоёв отображения моментов в коразмерности 1. Изучено поведение инвариантов разрешимых сферических подгрупп в полупростых алгебраических группах при локализациях соответствующих однородных пространств. Доказано, что все неприводимые компоненты схемы Алексеева-Бриона, параметризующей аффинные сферические многообразия с заданной полугруппой старших весов, суть аффинные пространства. Найдены все редуктивные линейные группы, действующие сферично на многообразиях флагов. Доказано, что алгебра унипотентных инвариантов кольца Кокса любого двойного многообразия флагов сложности не более 1 простой алгебраической группы свободна или её образующие связаны единственным соотношением, что позволяет эффективно разлагать на неприводимые слагаемые тензорные произведения некоторых неприводимых представлений. Доказана бесконечная транзитивность группы автоморфизмов универсального торсора для широкого класса гладких алгебраических многообразий. Описаны орбиты групп автоморфизмов аффинных торических многообразий. Исследованы действия аддитивной группы поля на торических многообразиях в терминах корней Демазюра. Явно вычислены комбинаторные данные невырожденных аффинных квадрик с действием тора сложности один. Классифицированы неприводимые представления классических простых компактных групп Ли с факторпространством, гомеоморфным клетке. Получено описание открытых подмножеств пространств представлений колчанов, допускающих хорошие факторы, являющиеся А2-многообразиями. Изучены вырождения представлений из указанных открытых подмножеств. Средствами теории представлений описаны дифференциальные характеристические классы римановых и кэлеровых метрик и линейных связностей на многообразиях. |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".