ИСТИНА

Проект преследует две масштабных цели, которые тесно связаны между собой. Первая цель --- развитие теории дифференциальных операторов с коэффициентами- распределениями. Основная задача --- определить, каким условиям должны удовлетворять сингулярные коэффициенты-распределения, чтобы соответствующий оператор был корректно определен. Планируются разные подходы к изучению обыкновенных дифференциальных операторов и операторов с частными производными. Для построения теории обыкновенных дифференциальных операторов мы планируем развить метод регуляризации, а для операторов с частными производными метод мультипликаторов в различных функциональных пространствах с негативным индексом гладкости. Одной из важнейших составляющих работы по теории обыкновенных дифференциальных операторов станет построение теории асимптотических представлений решений уравнений с сингулярными коэффициентами по спектральному параметру, а также одновременной асимптотики по спектральному и физическому параметрам. Эти результаты можно рассматривать, как развитие известного ВКБ-метода, они нужны для описания предельного поведения спектральных портретов насамосопряженных краевых задач в квазиклассическом приближении (то есть при больших или малых значениях физического параметра). Кроме того, планируется получить первые результаты о равномерных асимптотиках решений некоторых модельных дифференциальных уравнений одновременно по независимой переменной на полуоси или оси и по спектральному параметру в секторах комплексной плоскости (канонических областях). Вторая цель --- развитие общей спектральной теории несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Здесь мы предполагаем также построение абстрактных моделей для изучения конкретных задач, возникающих в механике, теплофизике, акустики и других приложениях. то есть формулировку общих операторных задач, которые наследуют свойства конкретных задач, но их исследование в общей форме становится проще. Имея в виду конкретные задачи, мы планируем развить теорию возмущений для операторов с дискретным спектром, а также получить новое важное определение операторов суммами форм, когда невозмущенная форма порождается позитивным оператором, удовлетворяющим условию Като. Этот новый общий результат существенно расширит возможности операторного представления конкретных прикладных задач. Мы планируем также получить новые результаты по факторизации самосопряженных эллиптических пучков операторов и разрешимости соответствующих операторно-дифференциальных уравнений, а также новые результаты в теории возмущений самосопряженных и несамосопряженных операторных матриц. Реализация этих целей предполагает внесение существенного вклада в развитие соответствующих направлений. Актуальность каждого из них не вызывает сомнений. Тематика, связанная с корректным определением дифференциальных операторов с коэффициентами- распределениями ведет начало от работ Л.Д.Фаддеева, Ф.А.Березина и Р.А.Минлоса. Однако новое дыхание она получила после работ участников проекта, которые предложили новые методы исследования: метод регуляризации, метод мультипликаторов и метод аппроксимации. В настоящее время появились сотни работ на эту тему, которые базируются на работах участников проекта, цитируют их и развивают эти методы. Участники проекта следят за наиболее актуальными и принципиальными работами в этой области и видят значительные перспективы развития этой тематики. Мы предполагаем, что особую роль будут играть в дальнейшем методы, связанными с новыми асимптотиками решений, которые мы предполагаем получить. Тематика, связанная с общей теорией несамосопряженных операторов является еще более масштабной, ее актуальность диктуется возможностью использования результатов теории к важным конкретным задачам механики. В этой тематике авторы проекта имеют принципиальные результаты с высоким индексом цитирования, особенно по теории операторных матриц, проблеме "половины" для операторных пучков, по теории возмущений самосопряженных и нормальных операторов с дискретным спектром. Принципиально новыми ожидаются результаты по теории возмущений симметрических оператор-матриц в пространстве Крейна и по факторизации самосопряженных эллиптических пучков.

The project has two ambitious aims, which are closely linked. The first aim is the development of the theory of differential operators with distribution coefficients. The main task is to determine what conditions must satisfy the singular distribution coefficients to the corresponding differential expression has been correctly defined. It is planned to develop various approaches to the study of ordinary differential operators and operators with partial derivatives. For construction of the theory of ordinary differential operators, we plan to develop a method of regularization, and for operators with partial derivatives method of multipliers in various functional spaces with negative smoothness index. One of the most important work on the theory of ordinary differential operators will be the theory of asymptotics of solutions of equations with distribution coefficients in the spectral parameter, and simultaneous asymptotics for the spectral and physical parameters. These results can be considered as a development of the well-known VKB-method, and we need them to describe the limit behaviour of the spectral portraits nonselfadjoint boundary value problems in quasi-classical approximation (that is, when large or small values of a physical parameter). In addition, it is planned to obtain first results on uniform asymptotics of solutions of some model differential equations simultaneously for the independent variable on the axis or halfaxes and for the spectral parameter in the sectors of the complex plane. The second aim is the development of a general spectral theory of nonselfadjoint operators in a Hilbert space. Here we assume The construction of abstract models for certain problems arising in mechanics, thermal physics, acoustics and other applications is interesting to us. That is, we want to formulate the general operator models that inherit the properties of specific tasks, but their study in the general form becomes easier. Keeping in mind the specific tasks we plan to develop the perturbation theory for operators with discrete spectrum. It is planned to obtain new results on the factorization of selfadjoint elliptic operator pencils and to prove the solvability of appropriate operator-differential equations, and new results in the theory of perturbations of selfadjoint and non-selfadjoint operator matrices. The realization of these aims requires substantial contributions to the development of the respective areas. The relevance of each of them is not in doubt. The topic related to a correct definition of differential operators with coefficients- distributions originates from the work of L. D. Faddeev, F. A. Berezin and R.A. Minlos. However. The the works of project memberss that have proposed new methods of research: method of regularization, the method of multipliers and the method of approximation gave a new impetus to the development to this branch. There hundreds of papers devoted to this topic appeared in recent years. Many of them are based on the works of the project members. Our papers are cited and our methods are develop in these papers. The project members closely monitor the most urgent and fundamental work in this area and see considerable prospects for the development of this theme. We assume that methods related to the new asymptotics of the solutions of differential equations with coefficients-distribution , which we expect to receive will be important in future. The topic of the general theory of nonselfadjoint operators is even more ambitious, its relevance is dictated by the use of the theory to the important specific problems of the mechanics. The members of the project have fundamental results with a high citation index in this field. This is particularly evident in the theory of operator matrix, the problem of "half" for the operator pencils, perturbation theory of selfadjoint and normal operators with discrete spectrum. Essentially new results are expected in the perturbation theory of symmetric operator-matrices in the Krein space and in the theory of the factorization of selfadjoint elliptic pencils.

In this section we describe only the main results that we plan to obtain in the framework of the project. Naturally, we will talk about the results in general terms, often without a specific formulation of conditions and approvals, to avoid a set of formulas. It will be easy to understand that these results will be of fundamental importance and therefore very significant for the development of the relevant areas. We expect to public key results in the leading Russian mathematical journals “Russian Mathematical Surveys”, “Sbornik:Mathematics”, “Izvestiya: Mathematics”, “Functional Analysis and Its Applications”, “Mathematical Notes”, “St. Petersburg Mathematical Journal”. We have international cooperation in some topics. In these cases, the publication will be provided to foreign journals. In addition, the member of the project plan to do at least 10 talks in international conferences held both in Russia and abroad. As part of the project we plan to obtain the following results. 1. We plan to obtain the asymptotic behavior of solutions in the sector of the complex plane with minimal conditions on the smoothness of the coefficients for general systems of ordinary differential equations of the first order with a spectral parameter We plan to obtain the asymptotic behavior of a precise estimate of the remainder terms under additional conditions on the coefficients belonging to certain classes of functional spaces. We plan to obtain exact asymptotic formula in the complex plane sectors for higher order differential equations with distributional coefficients (with a minimum of negative indices of smoothness). We plan to give the definition of regularity notion for singular boundary value problems and get analogues of Birkhoff results on estimates of the Green's functions. Results on this topic submitted for publication in the journal "Sbornik:Mathematics". 2. We plan to finish the construction of the spectral theory of ordinary differential operator of odd order with distribution coefficients. It is important to fin general (widest) high order scalar differential equations, for which solutions we can obtain on the asymptotic behavior for the spectral parameter in the complex plane sectors). We plan to submit two articles on this topic for publishing. 3. We plan to select the general classes of higher order scalar differential equations, for which you can get the leading term of the asymptotic behavior at infinity of the fundamental solutions of the system (the independent variable). Also we plan to get the principal term of the asymptotic behavior at infinity of the fundamental system of solutions of some classes of vector second order differential equations. We plan to submit two articles on this topic for publishing. 4. We plan to investigate the deficiency index of the minimal operator generated by a common singular differential expression (scalar or vector) in the Hilbert space of functions on the whole line or half-line and, and investigate the nature of the spectrum of self-adjoint extensions of the minimal operator. The asymptotic formulae obtained in previous items can be applied in this research. We plan to submit two articles on this topic for publishing. Also we plan to present a review article for items 1-4 in “Russian Mathematical Surveys”. 5. We plan to get the uniform asymptotic formula with respect to the spectral and physical parameters in the canonical Stoke areas. We also plan to obtain the transition formula from one area to another for the Sturm-Liouville and Schrödinger equations with analytic potential. By using these results we want to describe the spectral portraits of self-conjugate boundary value problems associated with these operators. The classification of curves that define the limit spectral portraits is an object of our investigation in this topic. Also we are going to get a description of spectral portraits of the Orr-Sommerfeld problem for some classes of velocity profiles, in particular, for the generalized Couette flow profile. We plan to submit two articles on this topic for publishing. 6. We plan to get an accurate description of spaces of multipliers from the Sobolev spaces with smoothness index $ k $ in another Sobolev space with an index of smoothness $ l $ (possibly negative) and the Holder exponent $ p $ and $ q $ respectively. The ratio of the indices satisfies the Sobolev embedding theorem. We want to get the results for Bessel potential spaces in the case of the whole space $ \ mathbb R ^ n $ and in the case of the torus. 7. We plan to prove embedding theorem for spaces of multipliers in the space of Bessel potentials. We plan to begin research to describe multiples spaces in function spaces on limited areas. We plan to apply the results on the multipliers for solving the problem of determining of elliptic operators with the coefficients-distribution. We plan to submit 3 articles on this topic for publishing. 8. We plan to get the first results on the nature of the spectrum (establish absolute continuity) spectral problem for singular string (Sturm-Liouville problem) in case when the weight is self-similar (fractal) and at the same time is non-compact function multiplier. (Previously, the problem with fractal scales were studied only in the case of a discrete spectrum). 9. We plan to obtain sufficient (close to necessary) conditions for limitation of $ C $ -norm eigenfunctions provided their normalization in the space $ L_2 $ for the singular string (Sturm-Liouville problem with weight ) . We are going to get estimates growth of $ C $ -norm for eigenfunctions for the weights from Lipschitz classes and self-similar(in Hutchinson sence) measures.We also plan to get accurate estimates on the $ s $ numbers and the eigenvalues of the string with a singular weight. In general setting the problem is difficult in its solution is not the corollary of classic results. The connection between these tasks and orthogonal polynomials in Steklov problem is planned to be establish. E.Rakhmanov and A.I.Aptekarev have investigated Steklov problem earlier. We plan to submit two articles on the topic 8,9 for publishing. 10. We plan to prove precise theorems on equiconvergence spectral expansions for operators related with Dirac and Sturm-Liouville problems in various scales of function spaces, depending on the class of capacity and expanded function . It is important to get the relationship between two functional spaces. One space is determined by the expanded function, another space is determined by potential of operator. These equiconvergence theorems are of the new type. They generalize the classical settings . We plan to submit two articles on this topic for publishing. 11. We plan to investigate tasks related to the defect numbers of operators generated by Jacobi matrices with matrix or operator elements in a Hilbert space, composed of vector sequences. We plan to submit two articles on this topic for publishing. 12. We are going to get the new results in the theory of perturbations of the operators. These theorems can be considered analogous to so-called KLNM theorem and second theorem of the representation for the case when the unperturbed positive self-adjoint operator is replaced by a positive operator. This operator subordinates to the so-called Kato condition for the square root). We plan to submit one articles on this topic for publishing. 13. We plan to investigate the spectrum of model problems for systems of integro-differential equations of Gurkin-Pipkin when the convolution kernel can be represented as a series of exponential decreasing with positive coefficients. We want to initiate study of equations and spectral problems of this type with the more general kernels containing two non-commuting operators. We plan to submit two articles on this topic for publishing. 14. We plan to prove the theorem on unconditional basis properties for eigen and associated functions of perturbed self-adjoint or normal operators with order $\alpha$. The perturbation operator is nonselfadjoint and locally $ p $ subordinates to the original operator with condition $p\leq 1- \alpha$. We plant to investigate the properties of a system of root functions for locally subordinated perturbations in case when the last condition is invalid. We plan to submit one or two articles on this topic for publishing. 15. We plan to prove the theorem about extensions for symmetric operator-matrices (analogues von Neumann, Friedrichs and Kato theorems) and to establish sufficient conditions for the possibility of operator diagonalization matrices. The analogs of these results for the symmetric operator matrices in an indefinite metric space (Krein space) also can be obtained . We plan to submit one or two articles on this topic for publishing. 16. We plan to investigate the motion of eigenvalues of $PT$ - symmetric operators when physical parameter is changed. We also want to obtain an analytical explanation of the phenomenon of the return and the encounter of the eigenvalues. First we found this effect by the computer experiments). It is important to estimate the critical value of the physical parameter, for which the operator loses the property of being such a self-adjoint. We plan to submit one or two articles on this topic for publishing in “Sbornik:Mathematics”. 17. We plan to give an efficient method for solving the inverse problem of reconstructing of the potential of Schrodinger operator on the whole axis and on the half- axis by resonances (in the case of a finite potential resonances coincide with the eigenvalues of the Regge problem). We plan to estimate the errors of reconstructed potential if we have only finite numbers of resonance. We plan to submit two articles on this topic for publishing We are also planning to prepare for publication a monograph based on the part of the proposed topics. These topics are connected with the theory of beams, the operator-matrices and equations in the Hilbert space). But we cannot guarantee publication of a monograph before the deadline of the project.

По основным направлениям проекта члены авторского коллектива были в числе пионеров, инициирующих появление этих тем (нужно только сделать оговорку относительно мультипликаторов. Мультипликаторы для пространств с положительными индексами гладкости исследовались давно, но открытие их важности и изучение для отрицательных индексов было начато в работах Шкаликова и его учеников). По остальным другим темам авторы проекта имеют принципиальные результаты, что подтверждается относительно высоким их цитированием.

1) Установлены результаты о корректной разрешимости в пространствах Соболева вектор-функций функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, главной частью которых является абстрактное гиперболическое уравнение, возмущенное слагаемыми, содержащими неограниченные переменные операторные коэффициенты при переменных запаздываниях, а также вольтерровы интегральные операторы. Проведен спектральный анализ абстрактных интегро-дифференциальных уравнений с ядрами, зависящими от параметра 2) Найден главный член асимптотики на бесконечности фундаментальной системы решений некоторых классов квазидифференциальных уравнений произвольного чётного порядка. При этом предполагается, что левые части рассматриваемых линейных однородных дифференциальных уравнений представляются как произведение конечного числа квазидифференциальных выражений второго порядка. 3) Получен главный член асимптотики фундаментальной системы решений некоторых классов линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка на бесконечности. При этом предполагается, что левая часть рассматриваемых линейных однородных уравнений согласована специальным классом матриц типа Шина-Зеттла. 4) Установлен аналог теоремы С.А. Орлова об индексе дефекта (Орлов С.А. Об индексе дефекта линейных дифференциальных операторов // ДАН СССР. - 1953. - Т. 92, № 3. - С. 483-486) для операторов, порождённых матричными линейными квазидифференциальными выражениями второго порядка с негладкими коэффициентами-матриц-функциями. 5) Исследована задача об индексе дефекта обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами на всей оси и соответствующих им обобщенных якобиевых матриц в пространствах $\mathcal{L}^2(-\infty,+\infty)$ и $l^2$ соответственно и характере спектра самосопряженных расширений этих операторов. 6) Получены оценки сверху на размерность сингулярной меры в терминах скорости приближения функции распределения этой меры кусочно-постоянными функциями. При этом скорость приближения имеет степенной характер. Показано, что полученная оценка не улучшаема.