ИСТИНА

Разработан асимптотический метод и при его помощи исследованы конвертеры перманента в детерминант для матриц над конечными полями с достаточно большим числом элементов и получены оценки границ Гибсона для числа нулей конвертируемых матриц. Поскольку этот метод оказался пригоден не для всех полей, разработан также тензорный метод, позволивший доказать отсутствие биективных конвертеров перманента в детерминант над произвольным конечным полем (и даже коммутативным кольцом без делителей нуля) характеристики отличной от 2 при n>2. Доказано, что для всех других полей и значений n размера матриц существуют биективные конвертеры перманента в детерминант. Показано, что над любым полем и для всех значений n существуют небиективные конвертеры перманента в детерминант. Исследованы вопросы существования конвертации перманента в определитель для эрмитовых матриц над конечными полями. Получено структурное описание множества матриц, для которых существует знаковая конвертация, для всей матричной алгебры и некоторых ее подалгебр. Полученные результаты обобщены на другие иммананты и на симметрические матрицы. В частности, доказано отсутствие аддитивных конвертеров различных имманантов друг в друга для симметрических матриц над алгебраически замкнутым полем. Доказано отсутствие фробениусовых эндоморфизмов перманента в определитель над конечными полями и некоторыми классами колец. Изучены условия на пару матриц А и С, при которых С-детерминантный образ А является вещественным отрезком. В частности, для эрмитовых матриц получено обращение известной теоремы Фидлера. Доказано, что кольца эндоморфизмов абелевых p-групп (p - произвольное простое число) или группы автоморфизмов абелевых p-групп (p - произвольное простое число, большее 2) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда либо сами абелевы группы являются редуцированными и совпадают их теории второго порядка, ограниченные мощностями их базисных подгрупп, либо абелевы группы редуцированными не являются и совпадают их полные теории второго порядка.  Доказано, что группа частных полугруппы неотрицательных обратимых матриц над линейно упорядоченным полем совпадает с общей линейной группой над этим полем при n>2 (при n=2 это не так, что было ранее известно). Построена некоммутативная алгебра над квадратично замкнутым полем, унитарная линейная группа над которой разлагается в нетривиальное свободное произведение. В частности, приводится пример, когда элементарная унитарная подгруппа принадлежит одному из сомножителей. Исследован класс алгебр , полученных в некотором смысле деформацией из полугрупповых алгебр упорядоченных полугрупп.Он вбирает в себя основные примеры алгебр , в идеалах, которых можно определить базис Грёбнера. Он содержит, например, универсальные обёртывающие алгебр Ли. Указанны приложения в криптографии. Теорема Гордона–Родригеса-Виллегаса, обобщающая теорему Соломона, говорит, что в любой группе число решений системы уравнений без коэффициентов делится на порядок этой группы, если ранг матрицы, составленной из сумм показателей степеней при i-м неизвестном в j-м уравнении, меньше числа неизвестных. Эта теорема обобщена в двух направлениях: во-первых, мы рассматриваем уравнения с коэффициентами, а во-вторых, мы рассматриваем не только системы уравнений, но и произвольные формулы первого порядка в групповом языке (с константами). Из нашей теоремы можно вывести разные забавные факты. Например, число элементов группы, квадраты которых лежат в данной подгруппе, делится на порядок этой подгруппы. Построена новая серия полупустых конечномерные алгебр Хопфа,  у которых только одно непереводимое недоношенное представление и его размерность минимально возможная, равная числу неодномерных представлений. Получены достаточные условия полиномиальной простоты квазигруппа порядка 4 по ее латинскому квадрату. Исследован вопрос о существовании (симметрично-)конвертируемых и неконвертируемых (0,1)-матриц для произвольного порядка матриц больше либо равного 3 и количества единиц в матрице между границ конвертируемости.

Разработан асимптотический метод и при его помощи исследованы конвертеры перманента в детерминант для матриц над конечными полями с достаточно большим числом элементов и получены оценки границ Гибсона для числа нулей конвертируемых матриц. Поскольку этот метод оказался пригоден не для всех полей, разработан также тензорный метод, позволивший доказать отсутствие биективных конвертеров перманента в детерминант над произвольным конечным полем (и даже коммутативным кольцом без делителей нуля) характеристики отличной от 2 при n>2. Доказано, что для всех других полей и значений n размера матриц существуют биективные конвертеры перманента в детерминант. Показано, что над любым полем и для всех значений n существуют небиективные конвертеры перманента в детерминант. Исследованы вопросы существования конвертации перманента в определитель для эрмитовых матриц над конечными полями. Получено структурное описание множества матриц, для которых существует знаковая конвертация, для всей матричной алгебры и некоторых ее подалгебр. Полученные результаты обобщены на другие иммананты и на симметрические матрицы. В частности, доказано отсутствие аддитивных конвертеров различных имманантов друг в друга для симметрических матриц над алгебраически замкнутым полем. Доказано отсутствие фробениусовых эндоморфизмов перманента в определитель над конечными полями и некоторыми классами колец. Изучены условия на пару матриц А и С, при которых С-детерминантный образ А является вещественным отрезком. В частности, для эрмитовых матриц получено обращение известной теоремы Фидлера. Доказано, что кольца эндоморфизмов абелевых p-групп (p - произвольное простое число) или группы автоморфизмов абелевых p-групп (p - произвольное простое число, большее 2) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда либо сами абелевы группы являются редуцированными и совпадают их теории второго порядка, ограниченные мощностями их базисных подгрупп, либо абелевы группы редуцированными не являются и совпадают их полные теории второго порядка.  Доказано, что группа частных полугруппы неотрицательных обратимых матриц над линейно упорядоченным полем совпадает с общей линейной группой над этим полем при n>2 (при n=2 это не так, что было ранее известно). Построена некоммутативная алгебра над квадратично замкнутым полем, унитарная линейная группа над которой разлагается в нетривиальное свободное произведение. В частности, приводится пример, когда элементарная унитарная подгруппа принадлежит одному из сомножителей. Исследован класс алгебр , полученных в некотором смысле деформацией из полугрупповых алгебр упорядоченных полугрупп.Он вбирает в себя основные примеры алгебр , в идеалах, которых можно определить базис Грёбнера. Он содержит, например, универсальные обёртывающие алгебр Ли. Указанны приложения в криптографии. Теорема Гордона–Родригеса-Виллегаса, обобщающая теорему Соломона, говорит, что в любой группе число решений системы уравнений без коэффициентов делится на порядок этой группы, если ранг матрицы, составленной из сумм показателей степеней при i-м неизвестном в j-м уравнении, меньше числа неизвестных. Эта теорема обобщена в двух направлениях: во-первых, мы рассматриваем уравнения с коэффициентами, а во-вторых, мы рассматриваем не только системы уравнений, но и произвольные формулы первого порядка в групповом языке (с константами). Из нашей теоремы можно вывести разные забавные факты. Например, число элементов группы, квадраты которых лежат в данной подгруппе, делится на порядок этой подгруппы. Построена новая серия полупустых конечномерные алгебр Хопфа,  у которых только одно непереводимое недоношенное представление и его размерность минимально возможная, равная числу неодномерных представлений. Получены достаточные условия полиномиальной простоты квазигруппа порядка 4 по ее латинскому квадрату. Исследован вопрос о существовании (симметрично-)конвертируемых и неконвертируемых (0,1)-матриц для произвольного порядка матриц больше либо равного 3 и количества единиц в матрице между границ конвертируемости.