![]() |
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ИНХС РАН |
||
Целью проекта является точная математическая постановка и решение краевых задач для уравнении смешанного типа и задач оптимального граничного управления колебаниями в распределенных системах, возникающих при моделировании различных процессов в технических и информационных устройствах. Одной из основных целей исследования является всестороннее исследование аналогов известных задач для уравнений смешанного типа, возникающих при моделировании процессов теплообмена в устройствах. В связи с этим будет изучен трехмерный аналог известной задачи Геллерстедта для уравнения эллиптико-гиперболического типа, в том числе решение проблемы корректной постановки этой задачи, планируется исследовани разрешимость краевой задачи типа Дирихле для уравнения Геллерстедта. Будет проведено исследование корректной постановки задачи Трикоми и Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанными краевыми условиями в эллиптической части и условиями склеивания типа Франкля. Планируется построить решение задачи Трикоми-Неймана для параболо-гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа методом разделения переменных, будет проведено исследование возникающей спектральной задачи для уравнения Штурма-Лиувилля с граничным условием второго рода и граничным условием третьего рода, содержащим спектральный параметр. К целям проекта также относится решение задач граничного управления для уравнений гиперболического типа с динамическими граничными условиями, возникающих при моделировании колебательных процессов в устройствах.
Исследована задача для простейшего уравнения Штурма-Лиувилля с граничными условиями третьего рода, в одно из которых линейным образом входит спектральный параметр. Изучены вопросы полноты, минимальности и базисности системы корневых функций в пространствах Lp, C и C1. В случае отсутствия спектрального параметра при производной решения в граничном условии, но с комплексным физическим параметром при свободной функции выписано трансцендентное условие появления кратных собственных значений. При другом граничном условии первого и второго рода найдено необходимое и достаточное условие выбора базиса в корневом подпространстве. Начато изучение структуры корневого подпространства у спектральной задачи для уравнения Штурма-Лиувилля на отрезке с граничным условием первого рода на одном конце и граничным условием третьего рода на другом конце, содержащим спектральный параметр во второй степени при искомой корневой функции и физический параметр, который может принимать комплексные значения. Выписано условие, при котором появляются кратные корни. Рассмотрен вопрос базисности системы собственных функций, отвечающих простым собственным значениям в пространствах Lp и C, а также доказана базисность всей системы собственных функций в классе Lp при одном кратном собственном значении. На основании полученных результатов исследован вопрос о корректности задачи для уравнения теплопроводности с оператором теплопроводности в граничном условии. Например установлено, что в классической постановке эта задача имеет неединственное решение и получено достаточное условие единственности решения.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова | Координатор |
грант Президента РФ |
# | Сроки | Название |
1 | 1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. | Решение спектральным методом и методом компьютерного моделирования краевых задач и задач управления, возникающих при описании волновых процессов и процессов теплообмена в технических и информационных устройствах |
Результаты этапа: Большое число современных технических информационных устройств и систем работают в экстремальных режимах, это ведет к тому, что протекающие в них процессы могут сопровождаться нежелательными и даже опасными колебаниями и неустойчивостями различной природы. Одновременно с этим при моделировании процессов, возникающих в технических и информационных устройствах, может появиться потребность генерации колебаний заданных частот. В связи с этим возникают задачи управления колебаниями. Таким образом ставятся, например, задачи, связанные с гашением нежелательных колебаний и неустойчивостей. Одним из методов решения задач такого рода может быть, к примеру, моделирование и проектирование некоторых конструктивных изменений в конструкции системы, структуру материалов и т.п. К другому типу задач можно отнести задачи генерации колебаний нужных частот в акустических системах, информационных и технических устройствах. Здесь также можно использовать методы математического моделирования, основанные на идее модификации конструкций или использования внешних устройств воздействия на систему. Таким образом большую актуальность получают математические задачи граничного управления колебаниями систем, а также оптимизации этих колебаний в различных смыслах. Спектральные задачи со спектральными параметрами в граничных условиях возникают и при математическом моделировании процессов теплообмена в объектах, граничащих со средами, имеющими большую теплоёмкость. В основе резисторных температурных датчиков, применяемых для сбора информации в промышленных роботах, лежит зависимоть электрического сопротивления от температуры. При математическом моделировании процессов распространения тепла в датчике приходится учитывать влияние внешней среды. При выполнении проекта будут исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа: трехмерный аналог задачи Геллерстедта для уравнения эллиптико-гиперболического типа, аналог задачи Франкля и задачи со смешанными граничными условиями для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, задача Трикоми-Неймана для параболо-гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа. Перечисленные задачи будут решены спектральным методом, методом интегральных представлений. В ходе выполнения задач проекта планируется изучение ряда спектральных задач, содержащих спектральный параметр в граничных условиях. Будут рассмотрены вопросы полноты, минимальности и базисности систем собственных функций таких задач. Для некоторых задач математитичесой физики для параболических и параболо-гиперболических уравнения на основе результатов, полученых спектральным методом, планируется получение точных априорных оценокрешений с использованием специально разработанных подходов и исследование вопроса об однозначной разрешимости. Будут исследованы задачи граничного управления для гиперболических уравнений и соответствующие им начально-краевые задачи. Исследования будут проводиться как в классическом, так и в обобщенном смыслах. Для некоторых задач будет проведена оптимизация найденного граничного управления. Полученные за отчетный период научные (научно-технические) результаты: В аналитическом виде найдено классическое решение одномерного волнового уравнения при наличии условий Коши, граничного условия на боковой границе и нелокального интегрального условия, которое задано через значения искомого решения во внутренних точках рассматриваемой области. Под классическим решением понимается функция, которая определена во всех точках замыкания заданной области и имеет все классические производные, входящие в уравнение и условия задачи. Производные определяются через предельные значения разностных отношений функции и соответствующих приращений аргументов. Получено интегральное представление решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева–Бицадзе со смешанными граничными условиями в эллиптической части области и с заданием нуля на одной из характеристик уравнения. Градиент решения не является непрерывным, а подчиняется некоторому условию, называемому “обобщенным условием склеивания Франкля”. Сформулированы теоремы, из которых следует, что неоднородная задача Трикоми или имеет единственное решение, или определяется с точностью до решения однородной задачи Трикоми. Рассмотрена спектральная задача для простейшего уравнения Штурма-Лиувилля на отрезке с граничным условием второго рода на одном конце и граничным условием третьего рода на другом конце. Условие третьего рода содержит спектральный параметр в первой степени при искомой корневой функции и физический параметр, который может принимать комплексные значения. Найдено условие в виде трансцендентного уравнения на комплексной плоскости, при котором собственное значение задачи является корнем кратности «два». Изучена структура корневого подпространства и показано, что выбор базиса в этом подпространстве не может быть произвольным. Подробно изучены вопросы полноты, минимальности и базисности в Lp, p>1 системы корневых функций задачи. Сформулирована спектральная задача для выделенных базисов без спектрального параметра, но с нелокальным граничным условием. Были изучены задачи граничного управления для одномерного волнового уравнения с граничным условием, моделирующим сопротивление среды. Рассмотрено однопараметрическое семейство разностных схем, аппроксимирующих нелокальную задачу теплопроводности с переменным коэффициентом. Исследованы спектральные свойства основного разностного оператора схем. Определена энергетическая норма пространства сеточных функций, в которой схемы являются равномерно устойчивыми. Получено соответствующее условие устойчивости. Рассмотрена задача на собственные значения для нелокального разностного оператора второй производной с переменными коэффициентами и комплексным параметром в граничном условии. Исследована алгебраическая и геометрическая кратность собственных чисел, а также знак их вещественной части. Получены условия на параметр, при которых весь спектр оператора находится в правой полуплоскости комплексной плоскости. | ||
2 | 1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. | Решение спектральным методом и методом компьютерного моделирования краевых задач и задач управления, возникающих при описании волновых процессов и процессов теплообмена в технических и информационных устройствах |
Результаты этапа: Исследована задача для простейшего уравнения Штурма-Лиувилля с граничными условиями третьего рода, в одно из которых линейным образом входит спектральный параметр. Изучены вопросы полноты, минимальности и базисности системы корневых функций в пространствах Lp, C и C1. Спектральным методом доказано существование и единственность регулярного решения задачи Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в полуполосе. На линии изменения типа уравнения задано условие Франкля. Получено в явном виде интегральное представление решения этой задачи. Получены классические и сильно обобщенные решения задачи Коши и второй смешанной задачи, а также сильно обобщенное решение (классическое решение не существует) первой смешанной задачи для телеграфных уравнений, свободный член в которых имеет специальный вид. Начато изучение структуры корневого подпространства у спектральной задачи для уравнения Штурма-Лиувилля на отрезке с граничным условием первого рода на одном конце и граничным условием третьего рода на другом конце, содержащим спектральный параметр во второй степени при искомой корневой функции и физический параметр, который может принимать комплексные значения. Выписано условие, при котором появляются кратные корни. Рассмотрен вопрос базисности системы собственных функций, отвечающих простым собственным значениям в пространствах Lp и C, а также доказана базисность всей системы собственных функций в классе Lp при одном кратном собственном значении. |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".