ИСТИНА

Изучение новых геометрических и топологических свойств и характеристик динамических систем, экстремалей вариационных задач, решений уравнений математической физики, маломерных многообразий, применение их в биологии, физике, компьютерной геометрии

Studying of new geometrical and topological properties and characteristics of dynamical systems, variational problems extremals, solutions to equations of mathematical physics, low-dimensional manifolds, and applications to biology, physics and computational geometry

Изучение новых геометрических и топологических свойств и характеристик динамических систем, экстремалей вариационных задач, решений уравнений математической физики, маломерных многообразий, применение их в биологии, физике, компьютерной геометрии

Коллектив обладает огромным опытом в изучении новых геометрических и топологических свойств и характеристик динамических систем, экстремалей вариационных задач, решений уравнений математической физики, маломерных многообразий, применение их в биологии, физике, компьютерной геометрии.

Изучалось поведение минимальных сетей при деформациях их граничных множеств. Показано, что при малых аналитических деформациях граничного множества семейство комбинаторных типов минимальных остовных деревьев не меняется. Аналогичный результат для кратчайших деревьев доказан при некоторых дополнительных предположениях. Полностью доказана теорема Ловтера (2015) о тривиальности группы изометрий метрического пространства Громова-Хаусдорфа (т.е. пространства классов изометрий метрических компактов с расстоянием Громова-Хаусдорфа). Изучались оптимальные соединения в пространстве Громова-Хаусдорфа. Разработанная техника неприводимых оптимальных соответствий позволила показать, что отношения Штейнера и Штейнера-Громова этого пространства равны 1/2, а суботношение Штейнера меньше 1. Доказана приводимость функции Морса на двумерной поверхности к нормальной форме в окрестности критической точки преобразованием, сохраняющим площади. Изучено свойство разложимости разветвленных накрытий нечетной степени над проективной плоскостью, когда накрывающая поверхность имеет неположительную эйлерову характеристику, т.е. дефект накрытия больше его степени. Показано, что любые комбинаторные данные ветвления с четным дефектом, большим степени, реализуемы неразложимым разветвленным накрытием над проективной плоскостью. Исследованы свойства отображения Хаусдорфа, сопоставляющего каждому метрическому пространству семейство его непустых, замкнутых и ограниченных подмножеств, наделенное метрикой Хаусдорфа. Показано, что это отображение является липшицевым с константой 1. Приводится несколько классов примеров пространств, расстояние между которыми сохраняется при отображении Хаусдорфа. Вычислено расстояние Громова–Хаусдорфа между произвольным связным метрическим пространством конечного диаметра и симплексом с большим диаметром. Приводятся свойства, которые могут помочь в ответе на вопрос, является ли отображение Хаусдорфа изометричным. Получена топологическая (лиувиллева) классификация интегрируемых бильярдов в локально-плоских компактных областях, ограниченных дугами софокусных парабол, с помощью методов теории Фоменко–Цишанга об инвариантах интегрируемых систем. Разработано программное обеспечение с применением параллельной архитектуры CUDA, позволяющее превосходить по скорости и качеству лучшие на сегодняшний момент алгоритмы распознавания контуров цифровых изображений (Canny, etc). Получена частичная классификация высотных атомов с транзитивной на кольцах одного цвета группой симметрий. Предъявлено 9 бесконечных серий и 19 особых случаев. Получена полная классификация высотных атомов с группой симметрий, транзитивной на вершинах атома и на кольцах одного цвета(белого). Изучалась топология изоэнергетических трехмерных многообразий интегрируемых гамильтоновых систем, реализуемых в виде специального класса так называемых “молекул”. А именно, для данного класса многообразий вычислено кручение Рейдемейстера в терминах инвариантов Фоменко–Цишанга. Обнаружена связь между кручением изоэнергетического многообразия и устойчивыми периодическими траекториями. Изучалось слоение Лиувилля интегрируемых биллиардных книжек - динамических систем с двумя степенями свободы, являющихся обобщением классического биллиарда в областях, ограниченных дугами софокусных квадрик. Было доказано, что любой 3-атом может быть реализован при помощи биллиардных книжек. Кроме того, было доказано, что реализуется любая грубая молекула (инвариант Фоменко), состоящая из 3-атомов без звездочек. Исследованы вопросы, связанные с возможностью непрерывного продолжения некоторых классов отображений на римановых многообразиях в точки границы заданной области. Для кольцевых отображений установлен результат о наличии непрерывного продолжения в изолированную граничную точку. Дан краткий обзор результатов по граф-зацеплениям: приведены построения полиномиальных инвариантов, гомологий Хованова и четности. Дан обзор открытых проблем и вопросов, связанных с различными аспектами интегрируемых систем с конечным числом степеней свободы. Многие из открытых проблем были предложены участниками конференции ‘Конечномерные интегрируемые системы, FDIS 2017’, проведенной в Центре Математических Исследований в Барселоне в июле 2017 г. Изучались компакты, находящиеся в евклидовом пространстве в оптимальном положении (расстояние Хаусдорфа между ними нельзя уменьшить). Показано, что для пары гомотетичных компактов, находящихся в оптимальном положении, чебышевские центры совпадают, оптимальное положение получается совмещением их чебышевских центров с центром гомотетии. Для трехточечной границы, образованной окрестностями отрезков в R^n, точка Штейнера реализует минимальное заполнение и также является компактом вида окрестность отрезка. Описано поведение траекторий полной симметрической системы Тоды на нерасщепленной вещественной форме полупростой алгебры Ли. Показано, что и в этом случае фазовый портрет совпадает с диаграммой порядка Брюа соответствующей (ограниченной) группы Вейля, однако размерности пространств, “заметаемых” траекториями, зависят от размерностей корневых пространств соответствующей вещественной алгебры.