ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
|
ИСТИНА ИНХС РАН |
||
С середины XX века исследователи стали уделять значительное внимание уравнениям соболевского типа. Одной из первых работ по этой тематике стала статья С.Л. Соболева 1954 года, в которой выведено и исследовано уравнение, описывающее гидродинамический процесс. В нем дифференцирование по времени применялось к лапласиану от неизвестной функции. (С. Л. Соболев. Об одной новой задаче математической физики. Изв. АН СССР. Серия математическая. Т. 18, вып. 1, с. 3-50.) Затем было опубликовано много работ об уравнениях соболевского типа, в которых изучались вопросы их разрешимости глобально и локально по времени, асимптотического поведения решений. Значительный вклад в развитие этой области внесли И.А. Шишмарев и М.О. Корпусов. Однако, остается много актуальных нерешенных задач для уравнений соболевского типа: эти уравнения моделируют важные процессы в гидродинамике и в физике полупроводников. Кроме того, отметим, что обширная литература посвящена точным решениям нелинейных уравнений в частных производных. Однако, в этой литературе мало внимания уделено уравнениям соболевского типа. Основное содержание данной работы состоит в следующем. Во-первых, в выявлении достаточных условий для разных видов качественного поведения решений задач для некоторых нелинейных уравнений в частных производных (в частности, соболевского типа), а именно, для мгновенного разрушения, локальной и глобальной разрешимости. Во-вторых, в построении классов точных решений для некоторых нелинейных уравнений в частных производных (в частности, соболевского типа), в анализе их качественного поведения.
Во-первых, будут построены в аналитическом виде точные решения нелинейных уравнений в частных производных (в том числе, соболевского типа), проанализировано их качественное поведение. Под аналитическим видом подразумеваются явные, неявные и квадратурные формулы, содержащие элементарные, специальные и, возможно, произвольные гладкие функции. Во-вторых, будут получены результаты, касающиеся разрешимости задач для нелинейных уравнений в частных производных (в том числе, соболевского типа), а именно, достаточные условия для определенного качественного поведения решения (мгновенного разрушения, разрушения за конечное время, глобального по времени существования). Результаты будут оформлены в виде статей и представлены для публикации в научные издания. Планируются выступления с докладами на научных конференциях, в том числе, международных. Некоторые результаты планируется включить в спецкурс для студентов факультета ВМК МГУ.
В кандидатской диссертации Аристова А.И. были получены следующие результаты 1. Впервые исследованы задачи Коши для некоторых нелинейных соболевских уравнений. Построены асимптотики их решений при больших временах. 2. Впервые исследованы начально-краевые задачи для ряда нелинейных соболевских уравнений, в частности, нелокальных по времени. Установлены достаточные условия для их глобальной и локальной по времени разрешимости. Для случая только локальной разрешимости построены верхние инижние оценки времени существования решения в виде явных, неявных и квадратурных формул.
МГУ имени М.В.Ломоносова | Координатор |
грант Президента РФ |
# | Сроки | Название |
1 | 1 марта 2018 г.-31 декабря 2018 г. | Исследование актуальных вопросов теории нелинейных уравнений в частных производных-1 |
Результаты этапа: Получены следующие результаты. Рассмотрено два нелинейных соболевских уравнения третьего порядка и одно уравнение четвертого порядка, а также одно неклассическое нелинейное уравнение в частных производных второго порядка. Для этих уравнений построен ряд семейств точных решений, выражающихся через элементарные и специальные функции. Для названных уравнений второго и третьего порядка точные решения исследованы впервые, а для уравнения четвертого порядка автор усилил свои результаты, полученные ранее. Работы выполнены при поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых - кандидатов наук МК-1829.2018.1. По темам проведенных исследований опубликованы следующие статьи. 1. Аристов А.И. О точных решениях одного нелинейного уравнения в частных производных второго порядка. Дифференциальные уравнения. Т. 54. № 9. С. 1167-1175. 2. Aristov A.I. On Exact Solutions of the Oskolkov-Benjamin-Bona-Mahony-Burgers Equation. Computational Mathematics and Mathematical Physics. Т. 58. № 11. С. 1792-1803. 3. Aristov A.I. Exact Solutions of a Second-Order Nonlinear Partial Differential Equation. Differential Equations. Т. 54. № 9. P. 1137-1146. По темам проведенных исследований сделаны следующие доклады на конференциях. 1. Аристов А.И. Об одном неклассическом нелинейном уравнении в частных производных. Ломоносовские чтения-2018, секция "Вычислительная математика и кибернетика", МГУ имени М.В. Ломоносова, Россия, 16-27 апреля 2018. 2. Аристов А.И. О точных решениях одного неклассического нелинейного уравнения четвертого порядка. Международная конференция "Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XXIX", посвященная 90-летию В.А.Ильина, МГУ им. М.В. Ломоносова, факультет Вычислительной математики и Кибернетики, Россия, 2-6 мая 2018. 3. Аристов А.И. Об одном неклассическом нелинейном уравнении в частных производных. 6th International Conference on Nonlinear Analysis and Extremal Problems, Иркутск, Россия, 25-30 июня 2018. 4. Аристов А.И., Холомеева А.А. On Some Families of Solutions of One Nonlinear Partial Differential Equation International Conference on Mathematics: An Istanbul Meeting for World Mathematicians, Стамбул, Турция, 3-6 июля 2018. | ||
2 | 1 января 2019 г.-1 декабря 2019 г. | Исследование актуальных вопросов теории нелинейных уравнений в частных производных-2 |
Результаты этапа: Получены следующие результаты. Рассмотрены нелинейные соболевские уравнения третьего и четвертого порядка. Для этих уравнений построен ряд семейств точных решений, выражающихся через элементарные и специальные функции. Работы выполнены при поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых - кандидатов наук МК-1829.2018.1. По темам проведенных исследований опубликованы следующие статьи. 1. Аристов А.И. Точные решения неклассического уравнения с нелинейностью под знаком лапласиана. Дифференциальные уравнения. Т. 55. № 10. С. 1-11. 2. Аристов А.И. О точных решениях одного нелинейного соболевского уравнения. Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. 2019 г. №4, с. 12-21. 3. Аристов А.И. О точных решениях одного неклассического нелинейного уравнения четвертого порядка. Математические заметки, том 105, №4, с.507-518. 4. Aristov A.I. Exact Solutions to One Nonlinear Sobolev Equation. Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics, том 43, №4, с. 156-165. 5. Aristov A.I. Exact Solutions of a Nonclassical Nonlinear Equation of the Fourth order. Mathematical Notes, том 105, №4, с. 503-512. 6. Aristov A.I. Exact Solutions of Three Nonclassical Equations, and Their Construction with Maple System. Lobachevskii Journal of Mathematics, том 40, №7, с. 851-860. По темам проведенных исследований сделаны следующие доклады на конференциях. 1. Аристов А.И. Точные решения соболевского уравнения с нелинейностью под знаком лапласиана. «Ломоносовские чтения - 2019». Секция «ВМК», Москва, МГУ, Россия, 15-25 апреля 2019. 2. Аристов А.И., Холомеева А.А. Exact solutions of a nonlinear equation from the theory of nonstationary processes in semiconductors. 12th International ISAAC Congress, г. Авейру, Португалия, 29 июля - 2 августа 2019. 3. Аристов А.И. О точных решениях одного неклассического уравнения в частных производных. Математика в приложениях. Международная конференция в честь 90-летия Сергея Константиновича Годунова (4-10 августа 2019, Новосибирск), Новосибирск, Россия, 4-10 августа 2019 |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".