Аннотация:Работа состоит из введения и восьми разделов. Во введении
обсуждается актуальность вопросов, связанных с изучением
колебаний неоднородных балок. Проводится анализ
публикаций и полученных результатов в данной области.
Вторая часть посвящена формулировке краевой задачи
нахождения собственных частот неоднородной балки в рамках
гипотез Эйлера-Бернулли. Следующий параграф касается
вопросов, связанных с различными классическими вариационными
формулировками спектральных задач, возникающих
в теории. Обсуждаются особенности применении
принципа Гамильтона и дополнительного к нему для такого
типа краевых задач. В четвертом разделе описывается метод
интегродифференциальных соотношений, который является
альтернативным к классическим вариационным подходам.
Далее исследуются возможности построения различных
двусторонних энергетических оценок качества и
приближенных решений, вытекающих из метода интегродифференциальных
соотношений. В шестом параграфе
обобщаются результаты, полученные и обсужденные в предыдущих
разделах, и вводится однопараметрическое семейство
квадратичных неотрицательных функционалов, условия стационарности которых совместно с интегродифференциальными ограничениями составляют полную систему уравнений, описывающую динамическое поведение неоднородных балок. В седьмом разделе рассматривается связь вариационных задач, получаемых с использованием введенного семейства функционалов с классическими вариационными принципами. В завершающей части на основе численного модельного примера обсуждаются преимущества
вариационной техники в задачах о свободных колебаниях неоднородных балок, как геометрически, так и функционально.
Ключевые слова: динамика, балка переменного сечения, собственные колебания, численные методы, структурная неоднородность, метод конечного элемента, функционально градуированные материалы