Аннотация:Мы показываем, что на сфере S^m, m\ne1,3,7, существует n_m-значное умножение с единицей для некоторого n_m\in {2,4,8}. Также мы в явном виде строим 2^(k−1)-листное разветвленное накрытие произведения k штук сфер S^m_1\times...\times S^m_k над сферой S^m, m=m_1+...+m_k.
Ранее даже для случая тора T^N была известна только неэффективная конструкция Александера 1920 года, дающая n-листное разветвленное накрытие любого ориентируемого замкнутого многообразия M^N над сферой S^N для некоторого n=n(M^N)>N!.