Аннотация:Рассмотрена новая форма H-теоремы для уравнения Лиувилля, возникающая в работах А.Пуанкаре, Козлова В.В. и Трещева Д.В.. В настоящей работе получено обобщение теоремы Веденяпина о совпадении временного среднего с экстремалью по Больцману с бездивергентного случая на более общий случай, когда существует положительное стационарное решение уравнения Лиувилля. Исследовано пространство всех линейных законов сохранения уравнения Лиувилля с дискретным временем для круговой модели Марка Каца. Этим пространством определяются стационарные решения. Получены точные формулы для размерности пространства всех линейных инвариантов. Ответ оказался связанным с малой теорема Ферма и теоремой Эйлера из теории чисел (для основания степени, равного двум). При дискретизации любого уравнения Лиувилля всегда заботятся о сохранении числа частиц и свойства положительности. При дискретизации по пространству мы должны получить линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с теми же свойствами. Поэтому матрица системы будет стохастической, и система будет представлять собой марковсий процесс. И далее получаетсямарковскаяцепь, когдаивремядискретно. Итак, поведениерешениявсехтрехобъектов сходно: среднее по Чезаро совпадает с экстремалью по Больцману. А ключевую роль здесь играют линейные законы сохранения, поскольку именно они определяют стационарные решения (экстремали по Больцману). Получены оценки наименьшего размера сетки в пространстве импульсов, используемой для дискретных моделей уравнения Больцмана для смесей с правильной размерностью линейных законов сохранения. Показано, что моделирование уравнения Больцмана для смесей, в частности, для больших отношений масс становится затруднительным приходится брать очень много значений импульсов частиц – размер сеток порядка “корня из отношения масс” частиц компонент двухкомпонентной смеси.