Аннотация:В работе исследованы колебания составного стержня, возбуждаемые
в нём краевыми условиями первого, второго и третьего родов, и найден
аналитический вид решения.
Рассматривается обобщенное решение данной задачи в классе W^1_2 ,
предложенном В.А. Ильиным и являющимся сужением класса Соболева
W^1_2.
Данной проблеме посвящен целый ряд статей, в которых задача рассматривалась с различными ограничениями:
1. Рассматривался только однородный стержень [1, 3, 4, 5]
2. Рассматривался стержень с равным временем прохождения сигнала
по каждому участку [6, 7]
3. Рассматривался стержень, в котором все участки имели одинаковые
импедансы [2]
В настоящей работе было предъявлено решение для общего случая.
Этого удалось достичь благодаря предложенной лаконичной форме записи решения. Особенно хочется отметить, что удалось записать в универсальном виде решения для разных пар краевых условий, т.к. в предшествующих работах изменение типа граничного условия приводило к се-
рьезному изменению вида решения.
Также была доказана единственность решения задачи с использовани-
ем техники без использования спектральных методов, придуманной авто-
ром.
Помимо этого, в работе предложены два алгоритма для вычисления
решения:
1. вычисляющий точное значение с количеством операций, растущим
экспоненциально по времени
2. вычисляющий приближенное значение с линейной по времени слож-
ностью
Литература
1. В. А.Ильин, Граничное управление процессом колебаний на двух
концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с ко-
нечной энергией // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, 11. с.1513-1528.
2. В. А.Ильин, П. В. Луференко, Обобщенные решения смешанных за-
дач для разрывного волнового уравнения при условии равенства им-
педансов. // Доклады Академии Наук, 2009, том 429, 3, с. 317-321.
3. Е. И.Моисеев, В. В. Тихомиров, О волновом процессе с конечной
энергией при заданном граничном режиме на одном конце и упругом
закреплении на другом конце // Нелинейная динамика и управле-
ние, 2007. Т. 5, с. 141-148.
4. А. А. Никитин, Оптимизация граничного управления, производимо-
го третьим краевым условием. // Доклады Академии Наук, 2007, Т.
417, 6, с. 743-745.
5. Ю.Р. Нестеренко, О смешанной задаче для волнового уравнения
с краевым условием третьего рода // Доклады Академии наук, 2009,
Т. 426, 1, с. 29-31.
6. В. А.Ильин. Смешанная задача, описывающая процесс успокоения
колебаний стержня, состоящего из двух участков разной плостности
и упругости, при условии совпадения времени прохождения волны
по каждому из этих участков. // Труды МИАН, 2010, Т. 269, с. 133-142
7. А. М.Рогожников, Исследование смешанной задачи, описывающей
процесс колебаний стержня, состоящего из нескольких участков, при
условии совпадения времени прохождения волны по каждому из этих
участков. // Доклады Академии Наук, 2011, Т. 441, 4, С. 449-451.
8. А. М.Рогожников, Исследование смешанной задачи, описывающей
процесс колебаний стержня, состоящего из нескольких участков
с произвольными длинами. // Доклады Академии Наук, 2012, Т. 444, 5., C. 488-491
