Аннотация:Рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения видаτ(y)−λ2mϱ(x)y=0,τ(y)=∑k,s=0m(τk,s(x)y(m−k)(x))(m−s),на конечном интервале x∈[0,1]. Здесь функции τ0,0 и ϱ абсолютно непрерывны и положительны, а коэффициенты дифференциального выражения τ(y) подчинены условиямτ(−l)k,s∈L2[0,1],0≤k,s≤m,l=min{k,s},где f(−k) обозначает k-ю первообразную функции f в смысле теории распределений. Наша цель – получить в этом случае аналоги классических асимптотических представлений типа Биркгофа для фундаментальной системы решений указанного уравнения по спектральному параметру при λ→∞ в некоторых секторах комплексной плоскости C. Мы сводим это уравнение к системе уравнений первого порядка видаy′=λρ(x)By+A(x)y+C(x,λ)y,где ρ – положительная функция, B – матрица с постоянными элементами, элементы матриц A(x) и C(x,λ) – суммируемые функции и выполнено условие ∥C(x,λ)∥L1=o(1) при λ→∞. Для таких систем мы получаем новые результаты об асимптотическом представлении фундаментальной матрицы решений, которые используем для асимптотического анализа указанных выше скалярных уравнений высокого порядка.Библиография: 44 названия.