Аннотация:Рассматривается спектральная задача −⟨∇,D(x)∇ψ⟩=λψ в ограниченной двумерной области Ω, где D(x) — положительная внутри области гладкая функция, такая, что на границе области она равна нулю, а её градиент отличен от нуля. Эта задача возникает при исследовании длинных волн, захваченных берегами и донными неоднородностями. Для её асимптотических решений при λ→∞ приводятся явные формулы в случае, когда функция D(x) имеет специальный вид, гарантирующий полную интегрируемость гамильтоновой системы, отвечающей гамильтониану H(x,p)=D(x)p2. Поскольку задача вырождена, соответствующие лиувиллевы торы лежат не в стандартном фазовом пространстве T∗Ω, а в “пополненном” фазовом пространстве Φ⊃T∗Ω, при этом их сужения на T∗Ω оказываются некомпактными и “уходят на бесконечность” по импульсам при подходе к границе области. В результате возникают нестандартные каустики, образованные границей области или её частью, в окрестности которых асимптотические собственные функции выражаются через функцию Бесселя сложного аргумента. Стандартные каустики (внутри области) также могут появляться, что даёт в асимптотике функции Эйри.