Аннотация:В школьном курсе геометрии обсуждаются две важнейшие теоремы об углах, связанных с окружностью:
о равенстве углов, опирающихся на одну дугу, и об угле между касательной и хордой. Однако обратные к ним теоремы зачастую остаются за кадром, хотя они позволяют легко доказать принадлежность точки данной окружности и касание прямой данной окружности соответственно. В заметке приводятся формулировки прямых и обратных теорем, обсуждаются доказательства обратных теорем (в большинстве пособий они приведены
лишь в качестве задач) и рассматривается применение этих утверждений при решении двух задач LXXXIV
Московской математической олимпиады.