|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ИНХС РАН |
||
Об интегральных представлениях величин, связанных с гамма-функциейстатья
Статья опубликована в журнале из списка RSCI Web of Science
Статья опубликована в журнале из перечня ВАК- Авторы: Костин А.Б., Шерстюков В.Б.
- Журнал: Уфимский математический журнал
- Том: 13
- Номер: 4
- Год издания: 2021
- Первая страница: 51
- Последняя страница: 64
- DOI: 10.13108/2021-13-4-50
- Аннотация: Изучается круг вопросов, связанных с интегральными представлениями гамма-функции и ее отношений. Основу нашего исследования составляют два классических результата теории функций. Один из них — широко известная первая формула Бине, другой — менее известное представление Мальмстена. Эти специальные формулы выражают значения гамма-функции в открытой правой полуплоскости через соответствующие несобственные интегралы. В работе показано, что оба результата допускают распространение на мнимую ось с исключенной точкой z=0. В процессе такого распространения применяются различные методы вещественного и комплексного анализа. Отсюда, в частности, получены интегральные представления для аргумента комплексной величины, являющейся значением гамма-функции в чисто мнимой точке. На основе упомянутой формулы Мальмстена в точках z≠0 из замкнутой правой полуплоскости дан подробный вывод интегрального представления для заданного через гамма-функцию специального отношения D(z)≡Γ(z+1/2)/Γ(z+1). Такой факт на положительной полуоси отмечен без доказательства в небольшой заметке Душана Славича 1975 года. В той же работе приведены при x>0 двусторонние оценки величины D(x), которая в натуральных точках совпадает с нормированным центральным биномиальным коэффициентом. Эти оценки означают, что D(x) обвертывается на положительной полуоси своим асимптотическим рядом. В настоящей статье кратко обсуждается вопрос о наличии данного свойства у асимптотического ряда функции D(z) в замкнутом угле |argz|⩽π/4 с исключенной вершиной. Из новой формулы, представляющей D(z) на мнимой оси, получены явные выражения для величины |D(iy)| и для множества Arg D(iy) при y>0. Указан метод доказательства второй формулы Бине, использующий аппарат простых дробей.
- Добавил в систему: Шерстюков Владимир Борисович