Место издания:Нижний Новгород, ИПФ РАН Нижний Новгород
Первая страница:172
Последняя страница:193
Аннотация:Типичная задача вычислительной математики,
возникающая при решении обыкновенных дифференциальных
уравнений, либо нестационарных
уравнений в частных производных заключается
в разработке и обосновании алгоритмов, позволяющих по заданным
начальным условиям восстановить с гарантированной точностью
соответствующую траекторию.
Если исследуемая система содержит управляющую функцию, то
при наличии подобных алгоритмов появляется возможность не только исследовать динамику
системы для конкретных данных,
но и допустимым образом влиять на ее эволюцию,
направляя к траектории с требуемыми свойствами.
Для систем седлового типа решение подобных задач асимптотической
стабилизации
удается построить в терминах проектирования на
локально устойчивые и неустойчивые многообразия в
окрестности либо неподвижной точки, либо траектории седлового типа.
Соответствующие численные алгоритмы основываются на классических результатах теории инвариантных
многообразий для частично гиперболических динамических
систем. В рамках данного подхода
задача о построении управления,
гарантирующего сближение заданных траекторий,
сводится к задаче проектирования на многообразие,
которое определяется решением некоторого функционального уравнения.
Найденное таким образом управление, по сути,
решает задачу стабилизации на неустойчивом подпространстве
малой размерности, а
сближение траекторий
в остальной части пространства обеспечивается за счет
свойств оператора эволюции.
Соответствующие алгоритмы позволяют находить
решения задач асимптотической стабилизации по начальным данным,
краевым условиям, правой части
для нестационарных конечно-разностных
уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений,
уравнений в частных производных.
В том числе, для задачи Лоренца, Бюргерса,
Навье-Стокса, мелкой воды, баротропного вихря на сфере.