On monodromy eigenfunctions of Heun equations and boundaries of phase-lock areas in a model of overdamped Josephson effectстатья
Информация о цитировании статьи получена из
Web of Science,
Scopus
Статья опубликована в журнале из перечня ВАК
Статья опубликована в журнале из списка Web of Science и/или Scopus
Дата последнего поиска статьи во внешних источниках: 20 декабря 2017 г.
Аннотация:Изучается семейство дважды конфлюэнтных уравнений Гойна вида LE=0, где L=L_{λ,μ,n} – семейство дифференциальных операторов второго порядка, действующих на ростки голоморфных функций одной комплексной переменной. Они зависят от комплексных параметров λ,μ,n. Ограничение семейства на множество вещественных параметров, удовлетворяющих неравенству λ+μ^2>0, является линеаризацией семейства нелинейных уравнений на двумерном торе, моделирующих эффект Джозефсона в теории сверхпроводимости. Показано, что для любых b,n∈C, удовлетворяющих некоторому “условию нерезонансности”, при любых значениях параметров λ,μ∈C, μ≠0, найдется целая функция f±:C→C (единственная с точностью до постоянного множителя) такая, что z^{−b}L(z^bf±(z^{±1}))=d_{0±}+d_{1±}z при некоторых d_{0±},d_{1±}∈C, зависящих от параметров. Этот результат имеет несколько приложений. Прежде всего он дает описание тех значений λ,μ,n,b, при которых оператор монодромии соответствующего уравнения Гойна имеет собственное значение e^{2πib}. Также он выделяет те значения λ,μ,n, при которых монодромия параболична, т.е. имеет кратное собственное значение. Рассматривается число вращения ρ динамической системы на двумерном торе как функция от параметров, ограниченная на поверхность λ+μ^2=const. Зоны фазового захвата – это ее множества уровня, имеющие непустую внутренность. Известно, что для общих семейств динамических систем проблема описания границ зон фазового захвата очень сложна. В настоящую работу включены результаты, полученные в данном направлении методами комплексного анализа. В рассматриваемом случае зоны фазового захвата существуют только при целых значениях числа вращения (эффект квантования) и дополнение к ним является открытым множеством. На дополнении к ним число вращения является аналитической субмерсией, задающей его расслоение на аналитические кривые. Упомянутый выше результат о параболичности монодромии приводит к явному описанию объединения границ зон фазового захвата в терминах решений трансцендентного функционального уравнения. Для каждого θ∉Z получено описание множества {ρ≡±θ(mod2Z)}.