Аннотация:В статье представлены новые результаты, относящиеся к проблеме периодичности непрерывных дробей, в которые разлагаются квадратичные иррациональности
в поле $K((h))$, где $K$ --- поле характеристики отличной от 2,
$h \in K[x]$, $\deg h = 1$.
Пусть $f \in K[h]$ --- свободный от квадратов многочлен
и нормирование $\absvn{h}$ поля $K(x)$ имеет два продолжения
$\absvfn{h}$ и $\absvsn{h}$ на поле $L = K(h)(\sqrt{f})$.
Обозначим $S_h = \{\absvfn{h},\absvsn{h}\}$.
Глубокая связь между периодичностью непрерывных дробей в поле $K((h))$
и существованием $S_h$-единиц, позволила далеко продвинуться в изучении
периодических и квазипериодических элементов поля $L$, а также в вопросах связанных с поиском фундаментальных $S_h$-единиц.
С помощью нового эффективного алгоритма для поиска решений
норменных уравнений в поле $L$ нам удалось найти
примеры периодических непрерывных дробей элементов вида $\sqrt{f}$,
что является достаточно редким явлением.
Для случая эллиптического поля $L = \mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$, $\deg f = 3$,
мы описали все свободные от квадратов многочлены $f \in \mathbb{Q}[h]$
с периодическим разложением $\sqrt{f}$ в непрерывную дробь в поле $\mathbb{Q}((h))$.
Библиография: 16 названий.
DOI: https://doi.org/10.1070/SM8998