ИСТИНА

Рассматривается равновесие упругого тела из неоднородного материала, обладающего пьезосвойствами. Деформированное и электрическое состояние такого тела описывается системой четырёх связанных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами относительно трех компонент вектора перемещений и скалярного электростатического потенциала. Задача для неоднородного тела называется исходной задачей. Наряду с исходной задачей рассматривается точно такая же задача для однородного тела той же самой формы --- сопутствующая задача. Получены новые интегральные формулы, позволяющие выразить решение исходной краевой задачи через решение сопутствующей краевой задачи и тензор Грина исходной задачи. Из интегральных формул следуют выражения для эффективных характеристик произвольно неоднородного пьезоматериала. Использование этих выражений для конкретных вычислений требует предварительного решения специальных краевых задач. Дана постановка этих задач, найдено аналитическое решение в частном случае неоднородного по толщине бесконечного слоя и построены точные аналитические выражения для эффективных электромеханических характеристик. Кроме этого из интегральных формул выведено эквивалентное представление решения исходной задачи в виде рядов по всевозможным производным от решения сопутствующей задачи. Для коэффициентов рядов получены рекуррентные уравнения. Рассматривается первая специальная краевая задача механики деформируемого твёрдого тела для вычисления эффективных определяющих соотношений неупругого неоднородного тела. Задача сведена к серии вспомогательных краевых задач для функций, зависящих от формы тела и вида определяющих соотношений. В случае неоднородного по толщине слоя проблема вычисления эффективных соотношений сведена к операторному уравнению, для решения которого предложен итерационный метод последовательных приближений. Получена приближенная аналитическая формула, позволяющая достаточно просто находить эффективные определяющие соотношения слоистого композита по известным неупругим определяющим соотношениям его компонентов. Приближенная формула отражает характер структурной анизотропии слоистого композита и в упругом случае даёт точные значения эффективных модулей упругости.