ИСТИНА

В задачах математической физики часто возникает необходимость опре- деления коэффициентов дифференциального уравнения, например, в задаче управления маятником переменной длины за возможно минимальное время. Рассмотрим краевую задачу для дифференциального оператора второго порядка x′′ + ω(t)x = 0, с заданными краевыми условиями. Задача состоит в том, чтобы определить функцию ω(t), в предположении |ω(t)| 􏰀 const, при этом время интегри- рования считается минимальным. Заметим, что гладкость функции ω(t) не предполагается. Так как задача вариационная (задача быстродействия) и обратная, то она может быть неустойчива. Поэтому применяются специфические методы ре- шения некорректных обратных задач [1]. Сложность интерпретации числен- ного результата связана с неустранимыми ошибками разностных методов. Однако в данной задаче удается найти аналитическое решение при симмет- ричных граничных условиях и сравнить его с численным решением. Доказана лемма, что такое решение (ω(t) = const) — единственно при условии мини- мального времени. Так как время является функционалом, формулируется задача с ограни- чениями типа равенств и неравенств, и прямой метод минимизации приво- дит к оптимальному решению [2]. Заметим, что методы высокого порядка не применяются, так как искомые функции — вообще говоря, разрывные, или конечной гладкости. Для корректности численного результата проводится ре- гуляризация задачи по Тихонову. Список литературы [1] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М. : Наука, 1979. 283 с. [2] Терновский В.В., Хапаев М.М., Хапаева Т.М. Применение вариацион- ного метода для решения обратных задач оптимального управления // Доклады Академии наук. 2018. Т. 483, No 4. С. 21–23.